1 897- ^'o. 9. SUR LES GROUPES DU DEGRÉ / ETC. 7 



On voit aussi que toute substitution de G équivaut à un nombre pair 

 de transpositions; en effet, dans le cas œntraire, il existerait un groupe 

 du degré p et de l'ordre ^ 1/ -h i)/.?r, ce qui est impossible. 



Le groupe r^ contient une substitution T qui échange entre elles les 

 lettres L^ et Z,, et qui par conséquent est permutable au groupe dérivé 

 de T. En posant 



y=|>^ f{k)\ et ^-HT=T^, 

 Q étant nécessairement premier à n, on a 



On en tire facilement: 

 Faisant ensuite 



z et i^x) étant deux nombres moindres que n^, m^ un résidu dépendant 

 de •/., — et désignant par R un résidu quelconque, on a 



On peut donc écrire la substitution T de la manière suivante: 



où l'on peut même omettre la transposition (x o). si l'on convient de 

 choisir poiu" q un nombre négatif. On trouve 



T'-=\ e^R «V^*)«^ .m^^.R^l; 



or, comme V^ ne déplace pas L^. on doit avoir T- = r^, donc, x et ip{/) 

 étant moindres que tj/, on a 



il^Tc) = X , m^^ . ml ^ f"^^. J^ = R. 



d'où l'on voit que o- — i est di\'isible par rt. L'ordre de T- est un 

 diviseur de n et, par conséquent, un nombre impair 2/e -^ i; y^^-i est 

 de l'ordre 2, contient le cycle (x o), et peut par conséquent remplacer 

 ï'; il est donc permis de supposer que la substitution 1' elle même est 

 de l'ordre 2. En faisant cette supposition on a 



