8 L. SYLOW. M.-N. Kl. 



W déplace toutes les lettres L^. En effet, si elle ne déplaçait pas Lr 

 et sa conjuguée, r^ contiendrait une substitution qui ne déplace pas L^ 

 et Lq, tout en échangeant entre elles deux autres lettres conjuguées; ce 

 serait nécessairement une puissance de r, mais on a vu que t et ses puis- 

 sances ne remplacent jamais une lettre par sa conjuguée. Donc y* déplace 

 toutes les L^, et généralement une subsdtution de To qui échange entre 

 elles deux lettres conjuguées, les déplace toutes. Il s'ensuit que i/;(x) est 

 différent de x, pour toutes les valeurs du dernier nombre. Car, si l'on 

 avait ip{a) = a, la substitution 



W.\k ~k\ 



ne déplacerait pas l'indice «", en échangeant toutefois oo et o entre eux. 



En prenant pour '/' une substitution de l'ordre 2, comme il est permis, 

 elle est un produit de \{p -\- i) transpositions; ce nombre est donc pair, 

 et par conséquent p est de la forme 4/1 + j. 



Désignons l'indice qui dans le groupe F^ est conjugué à e'^R par 

 E^^^'l.i^.R, (.ly étant un résidu, y. et çp(x) deux nombres inférieurs à /r'; on 

 aura évidemment 



(i) (P^{y) = v., ^fy(^).^«^= I. 



De plus, T remplaçant une paire d'indices conjugués par une autre, 

 on a 



n. 



La détermination obtenue de la substitution 'F permet de traiter à 

 fond le cas où /t =■ ^ {p — i), /t' ^= 2. La substitution r est alors à deux 

 cycles, dont l'un contient les résidus quadratiques, l'autre les non-résidus. 

 On a (p{o) = (//(o) = 1, r/)(i) = t/y(i) = o. Les congruences (i) et (2) 

 donnent 



I /«« 



en écrivant simplement m et /n au lieu de m^ et ^it,,, l'expression de ¥ 

 devient 



(qoo).I^ imR^WeR -^^F:\. 



