14 L. SYLOW. M.-N. Kl. 



Si, au contraire, 2 est non-résidu, je suppose m — i résidu, et fais 



a=^ — m^, R= \\ ^. ' devient non-résidu, donc 

 M + I 



^^ -mx^ja) ^ I W«) + ^ = ^ 



m -\- I m{in H- i) ' ^^ ^ ' in^^n -\- i) ' 



ffi j 



xu{— mR-\-a) — {\p{a) + r) = —^ ; — - , 



ce qui est un non-résidu ; la congruence (3) donne : 



I 



—K, d OU fn — I ^ — 



[m — i)' ^ — ? , d'où m — i ^ ^ in^ 



donc 



(7) m^ — m-y\^o. 



On a de plus 



/ \P + 1 



\}n — \y ^ I, 



2 



comme dans le cas précédent; puisque en outre le nombre — ^ persiste 



à être non-résidu, la supposition a = — m, R = m^ conduit, comme plus 

 haut, à la congruence (6). En combinant celle-ci avec (7) on a 



p = II, ?« = 5, Q = zt. l; 



mais il faut prendre le signe inférieur, n'ayant pas 52^1; donc 



On est ainsi conduit au groupe de l'équation modulaire du 12'^'"« 

 degré, et à celui de sa réduite du ii''""^. 



b) On a ?;r ^ a, [m -\~ i) ^ a-^, ce'^ -\- a -\- i ^o, a" ^ i, 



4> = (ooo).|ie —R^\.\N —a^N^\, 



et, puisque a est évidemment un résidu, 



«j»!«)^ — ce, ']>(a^) = — a^, ^{ — a)^ï, 4*( — cr)^a. 



Le nombre m ne peut pas être congru à a, car cela donnerait a^^a, 

 et par suite m^'*'^^{m -\- if'^'^ contre l'hypothèse; m — a est donc un 



résidu ou un non-résidu, mais il suffit de considérer l'un de ces deux cas, 



j ^^ f^ 



puisque en changeant m en —, a — m est remplacé par , nombre 



qui a le caractère contraire. Je supposerai a — m résidu. 



