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En éliminant a on trouve 



2m^ -\- 2m + I ^o, 



et en reportant la valeur de a dans la congruence a^ -\- a -\- i =o: 



4^^ — 2m^ — in^ -\- 2m. -|- i ^ o. 



Des deux dernières congruences on tire enfin 



/ = 7, m = 2, (» = ±l; 



mais il faut prendre le signe supérieur à cause de la congruence a- -|- a -f- 

 i^o. Ces valeurs donnent un groupe F de l'ordre 8.7.3, qui est identi- 

 que à celui dont les substitutions s'expriment par la formule 



l'indice z et les constantes a ç.\. b vérifiant la congruence 



z^^z (mod. 2). 



Mais le groupe G correspondant est seulement de l'ordre 7 . 3. 



J'ai donc démontré que la famille des groupes du degré premier p 

 et de l'ordre \{p -\- i)p{P — i) est épuisée par les trois groupes connus 

 des degrés 5, 7, 11. 



III. 



Il paraît difficile de traiter la question d'une manière générale par le 

 moyen qui a été suffisant dans le cas du paragraphe précédent. Pour les 

 degrés spéciaux il semble préférable de traiter directement le groupe G, 

 au lieu de son isomorphe F. En supposant p^ii, il faut que 7t soit 

 moindre que ^{p — i), c'est-à-dire qu'il soit ^^{p — i). Donc \{p — i) 

 ne peut pas être un nombre premier. De plus le groupe G^ est intransttif, 

 puisque son ordre ne peut être divisible par p — i. Les lettres x^x^. . .x^,-\ 

 se répartissent donc, par rapport à Gq, en plusieurs systèmes de transitivité. 

 Je désigne dans la suite, par l'expression «groupe partiel» d'un système, 

 le groupe des substitutions entre les lettres du système en question, qu'on 

 obtient par les substitutions de Gq, sans avoir égard aux autres lettres. 

 Le degré de chaque système est un multiple de -rt; cela découle immédiate- 

 ment de l'existence de la substitution /. L'ordre de son groupe partiel 

 est divisible par tout diviseur premier de p -\- i, et par conséquent son 

 degré dépasse le plus grand diviseur premier de / -|- i. En effet, si q 



