1897- ^^O. 9. SUR LES GKOUrES DU DEGRÉ p ETC. 17 



est un diviseur premier de /-f- i, G^ contient une substitution de l'ordre 

 q, et en vertu d'un théorème de M. Jordan (Traite des subst. p. 285) 

 chacune des lettres x^, x^. . .x^^x doit être déplacée par une substitution 

 de cet ordre. 



On peut démontrer que \{p -V i) ne peut pas être un nombre pre- 

 mier. Pour les degrés plus grands que 19 cela suit presque immédiate- 

 ment d'un autre théorème de M. Jordan, d'après lequel G ne peut 

 contenir aucune substitution à r c\Tles de l'ordre premier q, si p^^ qr -\- 

 /--)- I, r étant < 6, et q'>r; voyez le Bulletin de la Soc. math. t. I. 

 p. 217 — 221, où M. Jordan a donné la démonstration détaillée pour r =2, 

 en ajoutant qu'elle est analogue pour les trois autres cas. En effet, si 

 q = i[P -\- O' ^ ^st au plus égal à 3, et on a / > 3^ + 4, si / >• 19. 



Mais on peut aussi établir la proposition de la manière suivante. En 

 faisant q=\{p-\- i), le degré de l'un des systèmes, au moins, est inférieur 

 à 2q\ soit mn le degré de ce système, H son groupe partiel. Un groupe 

 transitif du degré n, dont l'ordre est divisible par un nombre premier q 

 contenu entre n — 2 et \n, contient le groupe alterné; car il doit être au 

 moins n — q -\- i fois transitif (Jordan, Traité des subst. p. 284), et il ne 

 peut être plus de 3 fois transitif, sans contenir le groupe alterné {Jordan, 

 Bull, de la Soc. math. t. I. p. 41). Or l'ordre de H est divisible par q, 

 et l'on a q^\m7t; donc, si l'on avait 



q < mjt — 2, 



^ l'ordre de H serait égal à {m7t)\ ou à ^(wtt)!; mais il est égal ou inférieur 



2q — I , 



à 4q7t et par suite inférieur à iq{2q — i). puisque jc-^— , none on 



aurait 



iq[2q-i)>h{fn7ty. > \(q -\- 2)\ 



ce qui est impossible. 



Comme mn divise l'ordre de H, qui à .son tour divise J\q7t, m est 

 diviseur de 4^. Mais 7r>3, mrc<:2q, donc m<Cq; de plus on a 

 > I, puisque autrement mn serait inférieur à q. Donc m est égal à 2 

 à 4. Il s'ensuit que q ne peut être égal à mit — 2. 



Si l'on suppose q = mn — i, le nombre n, divisant q-^\ et 2q — i. 

 est égal à 3, donc on a, ou 



/« = 2, ^=5- P= 19 

 ou 



w = 4, q=\\, p = Al- 



Vid-Selsk. Skrüter. XL-N. KL 1897. No. 9. 2 



un 

 m 



ou 



