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La dernière supposition nécessiterait un groupe partiel du degré 12 

 et de l'ordre 12. il; mais un tel groupe n'existe pas. Reste le degré 19, 

 qui demande d'autres considérations. 



Soit donc ^= 19, 7r^=3; le groupe Gf, est de l'ordre 60; chacune 

 de ses substitutions du cinquième ordre est à trois C3'cles, sans quoi G 

 devrait contenir le groupe alterné. Désignons par x,- les lettres du pre- 

 mier système de Gç^, celui qui est du degré 6, par j/,- Zi les autres douze 

 lettres, l'indice i variant de o à 5, et soit enfin u la lettre non déplacée 

 par Gq. Or G^ contient six sous-groupes de l'ordre 5, chacun d'eux lais- 

 sant invariables, outre u, trois autres lettres, dont l'une des Xj. L'ordre de 

 H est 60, comme celui de G^, puisqu'il est divisible par 6 et par 5, et 

 qu'il n'existe pas de groupe du degré 6 et de l'ordre 30. Donc Gq ne 

 contient pas de substitutions qui laissent les Xi invariables, en déplaçant 

 les yi, Zi. Cela étant, il est facile de voir, qu'on peut supposer les 

 Xi, jj/j, Zj rangées dans un tel ordre, que les lettres non déplacées par 

 chac[ue substitution (\\\ cin([uième ordre de G^, ont le même mdice. 



Soit maintenant 5 une substitution de l'orde 19 appartenant à G; 

 prenons-en trois puissances différentes qui remplacent .ar„ par une autre 

 des lettres Xi, et soit an la lettre qui dans l'expression de l'une d'elles 

 précède n, ba celle qui précède ao, a et â pouvant être indistinctement 

 X, y ou z, seulement an ne sera pas x^^. Dans l'une, au moins, de ces 

 trois puissances de S, l'indice q est différent de o; soit 



S^ ={. . .ba ÜQ îl. . .Xq Xr. . .) 



cette substitution. Désignons en outre par T une substitution du cinquième 

 ordre de 6^„ qui ne déplace pas Xç yo Zo, mais qui contienne, par conse- 

 quent, dans un de ses cycles, x^f avec 4 autres des x, et soit C ce cycle. 

 Or 5"T5'", ne déplaçant pas u, est contenu dans G^y, et par conséquent 

 l'un de ses cycles, le transformé de C, contient Xr avec 4 autres des x^, ce 

 qui fait voir que dans l'expression de 5'' cinq des lettres x sont suivies 

 par des x: 



5*"= (. . .^^ a„ u. . .x^, Xß x.^ x^ x^ x^. . .). 



Soit maintenant T^ une substitution du cinquième ordre de G^i qui 

 ne déplace pas bo, 5"^'' T^ S^"" appartient aussi à G^^; mais l'un de ses 

 cycles contient évidemment 4 ou 3 des x avec une ou deux lettres étran- 

 gères au premier système. Mais cela est absurde; il n'existe donc aucun 

 groupe du degré 19 et de l'ordre 20.19.3. 



