1 897- No. lO. SIR LA THEORIE DES CONGRUENCES ETC. 7 



II est également permis de multiplier membre à membre deux ou 

 plusieurs congruences différentielles linéaires de même module ; des con- 

 gruences écrites plus haut, par exemple, on déduit: 



D^y . D^y . D^y = D,j .D^y. D.^y (mod. /) 

 et plus généralement: 



D\y . D\y . D^y = d\j . D\y . CTy (mod. p) 

 /, 71, m étant des exposants entiers et positifs. 

 2. Si dans l'expression différentielle linéaire: 



r. ^ • d*y 



Il est l'ordre de la dérivée la plus haute, dont le coefficient ä„ ne soit pas 

 divisible par p, on dit que Dy est de Fordre n. 



D'après cette définition, deux expressions différentielles linéaires, qui 

 sont congrues suivant le module /, ont le même ordre, à supposer 

 qu'elles ne sont pas congrues à zéro suivant le module /. 



Soit n^ l'ordre de l'expression différentielle D^y et n^ l'ordre de 

 l'expression différentielle Z>2J'j l'ordre du produit Z^^jj/ . Z?2/ sera «, + '^2- 

 Car le coefficient de la {ii^-{-n^^^ dérivée du produit D^y . D^y, qui 

 est le produit de deux nombres non divisibles par /, n'est pas non plus 

 divisible par p. 



Il suit de là que, si l'on a 



D^y . D^y ^ o (mod. /) 

 il faudra que 



D^y^o (mod. /»), ou D^y^o (mod. /), 



ou D^y ainsi que D^y soient congrus à zero suivant le module /. \^oici 

 la proposition : //;/ produit d^ expressions différentielles linéaires, suivant 

 le module p, ne peut être nul que si F une des expressions différentielles 

 est nulle. 



\Nul signifiant congru a zero suivant le module /]. 



Car soit : 



(dm d^~^ d \ 



