ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



le produit D^y D^y est donc: 



f d'"' "^ "' d'"' ''' "' "^ 1 



D^y . D^y = |^„ bm ^^r^ + K ^„.-i + «« -i ^.,] ^^^^^r,-;;^ 4- 



^« + Hi — 2 



H- [«n <^»n-2 -\- ^n-i <^m - 1 + ^n - 2 ^^»] ^^^n + «j-2 + 



-I- . . . . [«1 ^^0 + ^0 '^i] ^ + ^0 '^o/;^- 



Si l'on a: 



D^y . D^y^o (mod. />) ' 



il faut que tous les {n -\- m -\- i) coefficients du produit D^y.D.^j soient 

 divisibles par /, ce qui donne 11 + ?;/ + i équations pour les n -\- m -\- 2 

 coefficients «„ . . . «f,» ^m ■ • • ^^o' ^^'o'^' "^^ ^"""^ facilement que tous les a sont 

 divisibles par p, ou tous les â sont divisibles par p. c. q. f. d. 



Soit 



■^i7 • ^2J^ = A7 • ^4:^ ('"od. p) 

 et 



Z?i;/ = Z>3;/=Ieeo (mod./)* 

 on aura : 



D^y = D^y (mod. /). 



Car on a : 



D^y . D.^y = D^y . D^y (mod. /) 

 ou 



D^y {D.^y — D^y) = o (mod. p) 



et d'après la proposition précédente : 



D^y — D^y^o (mod. p). c. q. f. d. 



Cette proposition fait voir la possibilité de diviser doux congruences 

 différentielles linéaires de même module. 



3. Parmi le nombre infini d'expressions différentielles linéaires 



» . d^V , 

 Dy ■=■ Zi üi-z^. d'ordre n, il / a un nombre fini d'expressions qui sont 

 dx'' 



incongrues suivant le module p. Ce nombre se déduit par la remarque, 



que les coefficients a^^ a^ . . . a^-x dans l'expression Dy (mod. p) passent f)ar 



les p nombres o, i, 2 .../>— i, le coefficients a^ seulement par les / — i 



nombres \, 2 . . .p — i. Le nombre des expressions différentielles linéaires 



d'ordre n incongrues suivant le module p est /"(/ — i)- 



4. Si les trois expressions différentielles linéaires D^y, D^y, D^y 

 satisfont à la congruence: 



Le signe =\= signifier qu'une quantité n'est pas congruente à une autre quantité. 



