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D^y = D^_y .D^y (mod. p), 



on dit que les expressions Z?., v et D^y sont diviseurs ou facteurs, suivant 

 le module /, de l'expression D^y, ou que l'expression D^y est divisible, 

 suivant le module /, par les expressions D^y et D^y. 



En particulier, on voit que toute expression Dy est divisible par les 

 p — I nombres ^j^o.-.^p-i d'un système complet de restes premiers 

 avec p. Car on peut toujours trouver un nombre x tel que la con- 

 gruence : 



OiX^ 1 (mod. p) 



soit satisfaite. On aura donc pour toute expression Dy. 



Dy = ûiX . Dr (mod. p). 



Nous considérons les / — i nombres a^ û^ . . . ûp^i comme des unites. 

 Entre un système d'expressions différentielles linéaires associées 



a^ Dy, a., Dy, .... ap^^Dy 



on appelle principale l'expression, dans laquelle le coefficient de la dérivée 

 la plus haute est congru à i suivant le module /. 



;. L'analogie de l'algorithme d'Euclide pour trouver le plus grand 

 commun diviseur de deux nombres donnés se retrouve facilement. Soient ' 

 D^y et D.^y deux expressions différentielles linéaires d'ordre n et m : 



"'.^ d' ^ fd\ 



Exécutons sur les polynômes /^ et /^, ou, d'après un 



théorème déjà cité, on doit regarder -y- comme une quantité constante, 



l'opération par laquelle on détermine le plus grand commun diviseur, 

 en négligeant les termes multipliés par p et en ayant soin d'ajouter à 



chaque reste un polynôme de la forme p . (f i-j-j . y. Si l'on suppose, 



pour fixer les idées, que l'ordre de D^y, c'est à dire le degré de 



y^ (-^), ne soit pas inférieur à celui de D.,y, on aura cette suite de 



congruences : 



