189;- XÖ. TO. SUR LA THÉORIE DES CONGRUENCES ETC. II 



d'où l'on voit que tout commun dhiseur suivant le module / de D^y . Dy 

 et D^y diA-ise aussi D^y . Dy, D^y.Dy suivant le module p et ainsi de 

 suite : il divise Ay . Dy, aussi c'est à dire Dy. 



Corollaire: Si Us expressions D^y et Dy nadmetUnt point de 

 diviseur commun avec l expression D^y, le produit D ^y . Dy n admet 

 pas non plus de diviseur commun avec r expression D^y. 



Corollaire: Si les expressions D^y et D^y n'admettent point de 

 ditnseur commun suivant le module /, et si le produit D^y . Dy est 

 divisible suivant le module p par D^y, Cexpression Dy est diinsible 

 par D.^y. 



7. Une expression différentielle linéaire Dy sera dite irréductible 

 suivant le module premier /, si elle n'est pas di\isiblc, suivant ce module, 

 par aucune expression différentielle linéaire d'un ordre inférieur au sien, 

 excepté les unités. 



Théorème: Si une expression différentielle linéaire principale Dy., 

 non congrue a zéro suivant le module /, n'est pas irréductible., elle sera 

 decomposable dune seule manière en 'facteurs principaux irréductibles. 



Si l'expression Z)y n'est pas irréductible, -on peut toujours trouver un 

 diviseur 2>jy de Dy: 



Dii = D^ii.B^'y (mod. p\ 



Si l'expression 2), y n'est pas irréductible, on peut trouver un diviseur 

 D.^y de i),y; si D^y n'est pas irréductible on peut continuer ainsi jusqu'à 

 ce qu'on trouve une expression irréductible D^, on aura alors: 



Bu = D^'y . Dfy (mod. /). 



Si l'expression D^'y n'est pas irréductible, on continue de la même 

 manière avec D.^'y et on trouve à la fin la décomposition suivante 

 pour l'expression Dy. 



Dy = D^y . D.^y . . . Dry (mod. /). 



S'il e»ste une autre décomposition de Dy en facteurs principaux 



irréductibles : 



Dy^J^y. J^y J^y (mod. /) 



on aura: 



Djy . n.y . . . Dry = J ly . J .y ^,y (mod. /). 



Le facteur irréductible D^y divise suivant le module p l'un des 

 facteurs du second membre, A^y par exemple, d'après le corollaire 

 précédent, et en conséquence il est congruent à ce facteur, puisque celui-ci 

 est lui-même irréductible. Remplaçant donc J ^y par D,y, notre con- 

 gruence prendra la forme: 



