13 



ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



D,y .D,jj.... Dry = D,y .J^y.-- ^éf (mod. p) 

 d'oii il resuite: 



I).,y . D^y ...Bry = zl^jj.J^y.../l^y (mod. /). 



En poursuivant ce raisonnement, on voit que les facteurs B^y, D^y, 

 .... Dry sont respectivement égaux à J^y, J^y, ... Jqy suivant le 

 module p. 



Remarque. Nous avons supposé dans notre démonstration, que l'ex- 

 pression différentielle linéaire donnée By était principale, mais puisque 

 toute expression différentielle linéaire se change, en la multipliant par 

 une unité, en une expression différentielle linéaire ayant le coefficient de 

 la plus haute dérivée congruente à l'unité suivant le module /, notre 

 théorème est valable pour toute expression différentielle linéaire. 



Chapitre IL 



§ 3. Quelques théorèmes sur les congruences différentielles linéaires 

 suivant un double module. 



I. Nous avons maintenant vu une expression différentielle linéaire 

 By suivant un module premier p pour les propositions élémentaires sur 

 les nombres entiers se retrouver complètement. 



La théorie des nombres entiers se divise en deux grandes parties, 

 la théorie des congruences et la théorie des formes homogènes. Il sera 

 donc possible de développer sur les expressions différentielles linéaires 

 suivant un module p deux différentes parties, une théorie des congruences 

 et une théorie des formes homogènes. Nous nous bornons toutefois 

 à exposer, dans les pages qui suivent, quelques théorèmes sur les con- 

 gruences des expressions différentielles linéaires sui\'ant un double module. 



Soient données deux expressions différentielles linéaires: 



-^ " . d'y '» . , d^y 



By = It ai -/-. et Jy = Ii bi-f-., 

 •^ dx' ^ dx^ 



le fait que l'expression By est divisible suivant le module p par l'ex- 

 pression Jy s'exprimera par la formule : 



By ^ o (mod. / . Jij) 



