l6 ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



6. La congruejîce du premier degré 



D^y . By = B^y (mod. p . Jy) (i) 



a une solution, si B^y est premier avec Jy. 



Si B^y est premier avec Jy, il y a, d'après notre Icmme, dans 

 chaque système complet de restes, suivant le double module, 2ine seule 

 expression, qui sadsfait à la congruence (i). c. q. f. d. 



Si dans la congruence du premier degré : 



B,y.By~ B^y (mod. / . Jtj), 



B^y et Jy admettent le plus grand diviseur B^y, il faut, pour la possibilité 

 de la congruence, que D^y soit divisible par B^y; dans ce cas notre 

 congruence a p'^ solutions, n^ étant l'ordre de B^y. 

 iVotre congruence s'écrit: 



B,'y.B,y.By = J'y . B,y . B'y + B,y (mod. p) 



d'où il résulte que: B^^y = B^/y . B^y (mod. /), si la congruence est 

 possible. 



En divisant notre congruence par B^y, on aura: 



B^'y.By = B,'y {xnod. p . J\J) 



où Z)/y est premier avec J'y. 



Cette nouvelle con«îruence a une solution: 



1 



ou 



By = Booy (mod. p . J'ij) 



By = B,,y + B'y . J'y (mod. p). 



Mais les expressions By, définies par cette congruence, seraient 

 congrues suivant le double module /, Jy, si les expressions B'y étaient 

 congrues suivant le double module p, B^y, car: 



B,y - Bjy = [B/y - B/y) J'y (mod. /), 

 et si l'on a: 



B/y - B/y = B,y . B^y (mod. /) 

 il en résulte : 



Biy — Bjy = Bsy.{B^y J'y) (mod. /). 



Mais il existe /"^ expressions B'y incongrues suivant le double 

 module /, B^y. c. q. f. d. 



