ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



Divisons toutes les p'^ expressions Dty, qui constituent un système 

 complet de restes, suivant le double module p, Jy, en autant de groupes 

 qu'il y a de diviseurs principaux de Jy. Mettons maintenant toutes 

 les expressions Diy, qui avec Jy admettent B^y comme plus grand 

 diviseur, suivant le module /, dans un groupe. Ce nombre d'expressions 

 JDy est évidemment rp{J^y). 



Mettons analogue dans un second groupe toutes les expressions Dy, 

 qui avec Jy admettent D^y comme le plus grand commun diviseur. 

 Ce nombre d'expressions Dy est rp{J.^y). En continuant ainsi on aura 

 distribué toutes les expressions Dy en groupes avec fp{Jiy) expressions 

 dans chaque groupe, on aura donc: 



I(p{J,y)=p-. 



Soit Jy congru suivant le module p d'une expression Dy irréductible 



de l'ordre n, on aura: 



(p{i)-\.cf{Dy)=p*' 



mais 



ç>{i)=p' = i. 



On aura ainsi : 



cp{Jy) = cp{Dy) = /« - i = /)»(i -^). 



Soit maintenant l'expression Jy congru, suivant le module /, au pro- 

 duit de deux expressions irréductibles: D^y.D^y des ordres n^ et n.^, 

 on aura : 



cp{i) + (p{D,y) + cp{D,y) -f (p{D,y . D,y)=p-' + "^. 



D'après ce qui précède, on a : 



rp{i) + (p{D,y)=p-^ 



cp{D,y) = p*--—i. 

 Il en résulte : 



cp{Jy) = cp[D,y . D^?/) =/"'+'^ — /"*■ — ^^ + i = 



En continuant ainsi, on aura: 

 cp{Jy)=^cp[D,y.D,y....D,^y)=^p-[i-^^{i-~)...\i-j^, 



où w = ;2j -f- ?^2 + • • • ~l" % ^^^ l'ordre de Jy, et n^, n^, . . . n^ l'ordre 

 de D^y, D^y, . . . D^y. c. q. f. d. 



