iSçr ^'^0. lO. SUR LA THÉORIE DES CONGRUENCES ETC. 19 



2. Theoreme. Soit Dy um expression, première ai'ec Jy, ifun 

 système complet de restes, suivant le double module p. Jy, on aura: 



Df'-'"' = I (mod. p, Jy). 



Si l'on met dans le produit Dy . D'y pour l'expression D'y les çiJy) 

 expressions: D^y, . . . D^^jg^y, premières avec Jy, d'un système complet 

 de restes, suivant le double module /, Jy, on aura de nouveau, (f{Jy) 

 expressions, premières avec Jy, d'un système complet de restes, suivant 

 le double module p, Jy. Xous aurons donc : 



Dy.D,'y = D,y 

 Dy.D.,'y = D.,y 



Dy.D^,'jy'y = D^(_f^.y 



mod. {p, Jy), 



où les expressions D^'y, D^'y . -. . . D^ j^'y désignent les expressions Z),y, 

 D^y, . . . . D-'jjf y, mais dans un autre ordre. En posant le pro- 

 duit: D^y, D^y . . . . D^rj^y = Py, on aura par la multiplication de cette 

 suite de congruences : 



jyi^'J») .Pij = Py (mod. p, Jy) 



puisque Texpression Py est première avec Jy, on aura: 



ly^ffiJ») = I (mod. /, Jy). 



c. q. f. d. 



3. En particulier, si l'expression Jy est une expression irréductible 

 d'ordre n, on aura: 



DyP^-^ = i {moâ.p,Jy), 



ce qui est la généralisation directe du théorème de Fermât. 



La proposition démontrée donne immédiatement la solution de la 

 congruence du premier degré : 



D^y. Dy = D^y (mod. /, Jy), 



où D^y est première avec Jy. sous la forme: 



Dy = r),i, . D.iß-^'^-'' (mod. p, Jy). 



§ ;. Sur les congruences différentielles linéaires^ dont le module 

 Jy est une expression irréductible. 



I. Théorème. La congruence du n**^ degré 



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