20 ALF GULDBERG. M-N. KI. 



F{Dy) = D,,y . Biß -h D^-.y . Biß-' j^ . [ , j^ j),y . By -\- 

 + Bç^y = o (mod. /, Jy), 



oh Jy est une expressio7i irréductible, n'admet pas plus de n solutions 

 incongrues suivant le double module p, Jy. 



Ce théorème est exact pour n = \; en le supposant valable pour 

 n — I, nous démontrerons qu'il est valable pour n; cela fait, notre 

 théorème est démontré. 



Soit B^'y une solution de notre congruence donnée, on aura: 



F{By)~F{B,^y)^{By-B,'y) F,{By) = o (mod. p, Jy), 



où F^[By) = o [mod. p, Jy) est nne congruence du [n — if^"^"" degré; 

 puisqu'on a : 



F{B,'ij) = o {mod. p,Jy) 

 nous aurons : 



(a) F{Bij) ^{By - B,'y) F, [By) = o (mod. p, Jy). 



Si la congruence F{By) = o (mod. /, Jy) admet plus de n solu- 

 tions, il faudrait donc que la congruence F^[By) = o (mod. p, Jy) admîte 

 plus de n — i solutions, ce qui est contre notre hypothèse. 



2. Soient D/y, B^^y, . . . Bny n solutions de la congruence donnée, 

 elle se mettra sous la forme : 



F{By) = B„y [By -B,-y) {By - B./y) ....(By~ B/y) (mod. /, Jy); 



ce qui résulte immédiatement de la forme (a) de notre congruence. 

 En particulier la congruence: 



Byp^-'^ =z I (mod. /, Jy) 



a pour solutions les/" — i expressions, premières avec _///, d\m système 

 complet de restes, suivant le double module /, Jy. 

 On aura donc: 



%P"-» - i={By-B,Uj){By-B,'y) . . . {By-B,n /y) = 



= 7t{By — B'y) (mod. p, Jy) 

 d'où il résulte: 



^(-D» = — I (mod. /, Jy), 



ce qui est une généralisation directe du théorème de Wilson. 



S 6. Solutions primitives et indices. 



I. L'expression By étant première avec le module Jy, considérons 

 la suite indéfinie des puissances de By, savoir: 



By^==i, By, By^, . . . . By^, ... 



