iSÇ/. Xo. lO. SUR LA THÉORIE DES CONGRUENCES ETC. 21 



Comme cette suite renferme im nombre illimité de termes, et qu'on 

 ne peut trouver qu'un nombre limité d'expressions incongrues suivant le 

 double module /, Jy, il y aura nécessairement deux puissances telles que 

 j)ym-^n et j)ym q^^ scrout congrues suivant le double module /, Jy. On 

 peut diA'iser la congruence : 



par Dy"' qui est première au module Jy, et il vient alors: 



Dy'^=i (mod. p,Jy). 



n désignant le plus petit nombre pour lequel cette congruence à lieu, 

 on dit que l'expression différentielle linéaire Dy appartient a Fexposant 

 îi, relativement au module double p, Jy. 



Il est clair que l'on a généralement: 



Dy»-'=î (mod./, Jy). 



Réciproquement, pour que l'on ait : 



Dy*" = I (mod. p, Jy) 



il faut que w soit un multiple de n; en effet, si l'on avait: P2 = r. n -\- ç, 

 q étant inférieur à 7i, on en conclurait: 



Dy^^ I (mod. /, Jy) 

 ce qui est impossible. 



Comme cas particulier on a 



i)yy(^*) = I (mod. /, Jy) 



et par suite (f{Jy) divisible par ?i. 



2. Considérons maintenant le cas où le module Jy est une expres- 

 sion irréductible d'ordre 7t. 



On peut se demander si, étant donné un diviseur arbitraire de 

 (p(^jy)=p^— i^ il y a des expressions différentielles linéaires qui lui 

 appartiennent et combien il y en a, parmi elles, qui soient incongrues. 



Supposons qu'il y ait une expression différentielle linéaire Dy qui 

 appartienne à l'exposant m ; cherchons s'il y a d'autres expressions apparte- 

 nant à l'exposant m; s'il en existe effectivement, elles seront solutions de 



la congruence : 



Dy"' = I (mod. /, Jy). (i) 



L'hypothèse : 



Dy"' = I (mod. p, Jy) 



