22 ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



entraine 



Oll 



{DirY = I (mod. p, Jy) 



r étant l'un quelconque des nombres 



o, 1 , 2 .... m — I . 



Les m solutions de la congruence (i) seront donc: 



I, By, By''... By-^-\ 



et c'est parmi ces expressions que nous avons a chercher celles qui 

 appartiennent à l'exposant m. 



Cherchons à quel exposant appartient une solution quelconque By"", 

 soit r le plus petit nombre tel que l'on ait: 



[By'J = By"- '=1 (mod. /, ^y). 



By appartenant à l'exposant m; a .r doit être divisible par m; û q 

 est le plus grand commun diviseur entre a et m, la plus petite valeur de 



r, telle que ar soit divisible par m, est évidemment — . Pour que By"- 



appartienne à l'exposant m, il faut et il suffit que g=i, c'est à dire que 

 a soit premier avec m; donc s'il existe 7me expression D^/ appartenant 

 à l'exposant m, il y en a (p[m). 



Si nous désignons par \p[m) le nombre des expressions différentielles 

 linéaires incongrues qui appartiennent au diviseur m de p^ — i, il est 

 clair que l'on a: 



Zip{m) = p'' — I 



puisque chacune des p^ — i expressions premières avec Jy appartient à 

 un diviseur m âe p^ — ■ i. Mais nous avons trouvé que l'on a 



soit ip{m) = o 



soit \p{m) = cp[m). 



Mais: 



Z \p{m) = p'^ —\ = I(p{m). 



On a donc toujours : 



ip{m) = g){M). 



Nous peut alors énoncer cette proposition : 



Théorhne. Si l expression différentielle linéaire Jy est irréductible 

 et d'ordre tc, et que m désigne un diviseur de p'^ — i, il y a précisé- 



