1897- Xo. 10. SUR LA THÉORIE DES CONGRUENCES ETC. 23 



ment (f{tn) expressions différentielles linéaires qui appartiennent a r ex- 

 posant m. 



2. En particulier, il y a q'{j>'^ — i) expressions différentielles linéaires 

 incongrues qui appartiennent à l'exposant p'^ — i. On les appelle solutions 

 primitives de l'expression irréductible Jy. 



La propriété fondamentale des solutions primitives est que leurs 

 puissances engendrent un système complet de restes, suivant le double 

 module p, Jy, sauf zéro. 



Si By désigne une solution primitive, et si l'on considère une expres- 

 sion différentielle linéaire quelconque D'y première avec Jy, il existe une 

 puissance de By (et par suite une infinité) congrue à cette expression. 



L exposant de la puissance a laquelle il faut élever By pour avoir 

 un résultat congru a V expression B'y s'appelle Vindice de B'y par rap- 

 port a la solution primitive By, qui est dite la base de Vindice. 



On le désigne par la notation: ind. B'y. On a donc, par définition: 



B'y = By^^^y (mod. /, Jy). 



Toute expression qui n'est pas nulle suivant le double module /, Jif 

 a une infinité d'indices, congrus entre eux suivant le module p^ — i . 

 Lorsque nous dirons que deux indices sont congrus ou égaux, cela sio"ni- 

 fiera donc toujours : congrus suivant le module p^ — ■ i . 



Avec cette convention, les propriétés des indices s'énoncent exacte- 

 ment de la même manière que celles des logarithmes. Leur propriété 

 fondamentale est, comme pour ces derniers, que l'indice d'un produit 

 est égal a la somme des indices de ses facteurs, et on en déduit les 

 mêmes conséquences. 



Dans ce qui précède nous avons essayé d'exposer les théorèmes les 

 plus importants d'une théorie des congruences différentielles linéaires. En 

 s'appuyant sur ces théorèmes on pourra sans grande difficulté développer 

 les analogies ultérieures qui existent entre la théorie des congruences 

 différentielles linéaires et les théories des congruences algébriques et arith- 

 métiques. 



