14 AXEL THUE. M.-N. Kl. 
Definiert man folglich die zweifach unendliche Reihe R[a, b, . . . , c] 
durch die Gleichung: 
Tela; b, ER c] =... M M, Mo So No N, No eh 
so wird: 
WAG Panes OS VR Oars: at aC 
Nach diesen einleitenden Bemerkungen wollen wir fir einige Werte 
von n gewisse in Bezug auf verschiedene gegebene Zeichen irreduktibler 
Reihen näher untersuchen. 
Es wird sich zeigen, dafs irreduktible geschlossene oder zweifach 
unendliche Zeichenreihen und Diophantische Gleichungen einige Analogien 
darbieten. 
KAP. II. 
Zeichenreihen aus zwei Arten von Zeichen. 
7. Eine beliebige offene oder unendliche Zeichenreihe À, in der jedes 
Zeichen einem von zwei verschiedenen gegebenen Zeichen gleich ist, wird 
dann, und zwar nur dann, in Bezug auf die zwei Zeichen irreduktibel 
genannt, wenn je zwei einander gleiche, aber nicht identische Unterreihen 
der Reihe überall außerhalb einander liegen, ohne also eine gemeinsame 
Partie zu besitzen. 
Bedeutete A hier dagegen eine geschlossene Reihe vor 7 Zeichen, 
so würde A dann, und auch nur dann, in Bezug auf die zwei Zeichen 
irreduktibel genannt werden, wenn die von je > + 1 auf einander folgenden 
Zeichen des Zeichenringes À gebildete offene Reihe immer in Bezug auf 
die zwei Zeichen irreduktibel wird. 
Man sieht sofort ein, daf3 eine in Bezug auf zwei Arten von Zeichen 
reduktible, d. h. nicht irreduktible, Reihe immer zwei einander gleiche 
Unterreihen, die ein einziges Zeichen gemeinsam haben, besitzen. 
Nebenstehende baumähnliche Fig. 2 enthält alle in Bezug auf zwei 
Zeichen « und 6 irreduktible Reihen, die mit demselben Zeichen a anfangen 
und von hóchstens r2 Zeichen gebildet sind. Die Endzeichen der Reihen, 
die an dem freien Ende nicht verlàngert werden kónnen, ohne reduktibel 
zu werden, sind durch einen Kreis markiert. 
Durch die Entwicklung einer Reihe von Såtzen wollen wir unter 
anderm nachweisen, wie man von Buchstaben @ und ^ unendliche Reihen, 
die in Bezug auf « und 6 irreduktibel werden, bilden kann. 
