36 AXEL THUE. M.-N. KI. 
Umgekehrt bekommt man: 
Satz 21. Schreibt man in einer aus Buchstaben a, Buchstaben b 
und Buchstaben c gebildeten zweifach unendlichen oder geschlossenen Reihe 
Rla,b,c|, die in Bezug auf a, b und © irreduktibel ist und keine der 
Reihen aca und beb enthält, statt jedes a den Buchstaben x, statt jedes b 
die Reihe xyy und statt jedes © die Reihe xy, so wird die so gebildete 
Reihe Riz, xyy, xy| in Bezug auf x und y irreduktibel. 
Wir werden also nachweisen, daß R|x, xyy, xy| keine Unterreihe $ 
von der Form zNzNz, wo 2 ein x oder ein y bedeutet, enthalten kann. 
Ohne weiteres sieht man ein, daß 7 von x verschieden sein muß. 
Wenn also S — y Ny Ny, kann nicht N = y M, oder $ = yy Myy My sein. 
Denn sonst enthielte R[x, xyy, zy] ja die Reihe z$ = zyyMyyM = 
zy M'zyy M'r, und Ka, b, c| müfite reduktibel sein. 
Es kann auch nicht N = x sein. Wären nämlich S = yxyzy, so ent- 
hielte Ria, b, ¢ die unmögliche Reihe beb. Wir haben also N = xM oder 
S = yr Myx My. 
Hier wird nicht M = y, oder S = y|[xyy][xyy]; auch nicht M = My, 
oder S = y|xM'yy|[zM'yy]. 
Ferner wird nicht M — x, oder S = yxxyxxy. Sonst enthielte ja 
Ra, b, c| die unmögliche Reihe aca. Wir erhalten folglich M — M’x oder 
S — yxM'zyzM'xy. 
Da Ria, b, c] irreduktibel ist, bildet weder xS noch Sx eine Unter- 
reihe von A[z, xyy, XY]. 
Ist also Ria, xyy, xy] in Bezug auf æ und y reduktibel, so enthält 
diese Reihe eine Unterreihe 
zySy = xyyx M'xyx M'xyy. 
Ria, b, c| enthielte dann eine Unterreihe 
b KcKb. = 
K muf hier mehr als ein Zeichen enthalten. Sonst bekämen wir 
K=a. Da aca nicht in R{a, 6, c| vorkommen darf, wird dies aber 
unmöglich. 
Wir bekommen also 
K= aK'a. 
Aber dann enthielte ja 214, b, c| fortwährend die unmögliche Reihe aca. 
Hierdurch ist unser Satz bewiesen. 
