ICI I. No. 3. ÜBER EINIGE UNMÖGLICHE GLEICHUNGEN. 



WO S, T und r' drei ganze homogene Funktionen mit ganzen Koeffizienten, 

 beziehungsweise von den Graden /«•, }i — t] -\- k und p — ■ ^ -|- A" be- 

 deuten. 



Diese letzte Gleichung gilt für alle Werte von x und //. 



Wir können voraussetzen, dafi nicht alle drei von den Funktionen -V, 

 T und l einen gemeinsamen Divisor von der Form d'i' -\- hi/, wo (i und h 

 Konstanten sind, besitzen. 



In diesem Falle konnte man ja den etwaigen Faktor wegdividieren. 



Aus (7) und (14) erhält man 



Pi.r, 11) [S(x, //) — r{.r, il)] = Q{:r, //) \V{x, //) - T(x, y)\ .... (15) 



Wird den Gleichungen (7) und (15) für unendlich viele Paare X \on 

 relativen Primzahlen x und // genügt, so gibt es unendlich viele Paare )' 

 von den Paaren -V, bei denen PQ nicht gleich Null wird. 



X 



— nähert sich nämlich mit wachsenden Werten von .'' und // gegen 

 eine Wurzel q von P(^, 1), während }\x, ij) irreduktibel ist. 



Für unendlich viele Paare Z von relativen Primzahlen .r und // von 

 den Paaren )', können auch lu'cht die beiden Ditlerenzen N — l- und 

 l— T gleich Null sein. 



Wir bekämen nämlich dann 



S = U, ü = T 



(', T und P enthielten demnach einen gemeinsamen Divisor ax -\- h(j, 

 was hier, wegen der Irreduktibilitet von F, unmöglich ist. 



Da jeder gemeinsame Divisor von P[x,ij) wnà Q{x, ij), wenn .rund// 

 relative Primzahlen sind, kleiner als eine konstante positive GrcUse sein 

 mufî, während der Grad q von Q größer ist als der Grad p — r -j- /.' von 

 r, so kann die Gleichung (15) oder 



P U—T 



Q- S — U 



nicht möglich sein. 



Unser Satz ist somit bewiesen. 



Nordstrand, d. 26. Januar 1911. 



A. T. 



