1 8 AXIL THÜK. M.-N. Kl. 



Durch (.iiic Erweiterung d(,T Digressionsbemcrkiinj^ Pag. 15 uird man 

 imstande sein zu enlsclieiden, ob cine Gleiehung 



Ax^ -i- ßi/^ = Cz'^ . . . . (i) 



bei der .1, B und (' l)clicbig gegebene, von Null verschiedene ganze 

 Zahlen bezeichnen, in ganzen Zahlen x, ij und z, wovon je zwei relative 

 Primzahlen sein sollen, möglich ist oder nicht. 



Wir können hier folgendermafaen verfahren : 



Setzen wir — ohne die Allgemeinheit einzuschränken — voraus, dafe 



Z^ !/ ^ x^ o, so kann man solche von Null verschiedene ganze Zahlen 



/;, q und r, die nicht alle einen gemeinsamen Divisor besitzen, bestimmen, 



so dafa erstens 



px -\- qy = rz .... (2) 



während zweitens 



i^^O^, q'<2z, r2<3^ • • • • (3) 



Jede ganze Zahl iV ^ ax -\- ß ij -\- y z , wo u, ß und / solche ganze 

 Zahlen sind, daß 



o^a^ k , o<^ß<^k, o ^y ^ k , 



wobei k diejenige ganze Zahl bedeutet, bei der 



/.' < ]/32- ^ A- + I 



mufa nämhch einer der 3k. i -\- i Zahlen: o, i, 2, . . . . , 3k z gleich sein. 

 Anderseits wird die Anzahl aller dieser in Bezug auf die Zahlen a, ß 

 und / verschiedenen Ausdrücke N gleich (/>" -|- i)'. Da 



{k + if ^ 3 (A- 4- i) £- > 3/.-f + I 



müssen zwei der Zahlen iV, die wir iVy und iVi nennen wollen, einander 

 gleich sein. Aus der Gleichung A^) — A\ = o kann man aber sofort eine 

 Gleichung (2) der gesuchten Art bilden. 

 Aus (i) und (2) bekommt man: 



[Bp'^ + Aq^] a;2 _ zBpr xz + [Bi^~ — Cq^] z^ = o 



[Bp^ -f Aq^] iß — zAqrijz -\- [Af^ — Cy] z^ = o 



oder ax = C(f — Br- 



hi/ = Cp" — Ar'' 



cz = Bp-^ -f Aq-' .... (4) 



az -f zBpr = ex • • • • (5) 



hz -f 2.4 gr = cy .... (6) 



dp -f- bq -{- er == o 



