RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 



l'équation différentielle 1) prend la forme remarquable 



dÇ 



où les .1, B, C sont des constantes numériques. C'est une équation diffé- 

 rentielle hyperçjéométrique'^ d'ordre n — 1. Les n racines de l'équation 

 trinôme i(b) sont donc, considérées comme des fonctions de 1, des inté- 

 grales particuliaires d'une équation hypergéométrique d'ordre n — 1 et on 

 peut résondre l'équation trinôme pflr des fonctions Jiypergéométriques 

 supériewes simples. Si | Ç [ ^ 1 les racines sont, exprimées par des 

 fonctions hypergéométriques supérieures, données par les formules 5(b) 

 et (c) et si 1 Ç | > 1 par les formules 6(c). 



Nous pouvons aussi dans le cas générale trouver le (jroiipe de Véqua- 

 tion differentielle D = définissant les racines x-^, x.), . . . , Xa, car nous 

 démontrons (§ 7) en numérotant des racines x^, x.^, . . . , Xn d'une manière 

 déterminée pour une valeurs déterminée de ß 



a-j -^ a:n , Xh -^ ^h {i^ h) 



en désignant par le symbole 



a 



que la fonction A de ß se change en la fonction B de ß quand ß décrit 

 un contour fermé autour de a. La racine Xq qui joue un rôle spéciale est 

 cette racine qui s'annule pour /:? = 0. Donc : Quand ß décrit un contour 



1 Thomae: Mathematische Annalen, B. 2, 1870, p. 427. 



E. Goursat: Annales de l'Ecole Normale Supérieure, t. 12, 1883, 2i«Die série, p. 272. 

 Une fonction hypergéométrique d'ordre il — 1 est définie par une série de la forme 



(d) Fro = F\ ; ' ' ,v ''~A=i:cs> 



;,(r) 7(r) ,(r) 



s=0 



ou 



c 



(1 5) .{6« ..)... (6« 2 5)' C3 {s+l)(s + b^^^)...(s + b^^l^) 



(a« s) = a(/) (a['^ + 1) {a^f^ + 2) . . . (a^/^ -f s - 1) 



les a et b sont des constantes. Ces séries sont convergentes pour ■■ t <^ 1 et en outre 

 pour s = 1 si la partie réelle de la difterence 



n— 2 n— 1 



i=l i=l 



est positive. 



