8 RICHARD BIRKELAND. M.-N. Kl, 



moment que le cas ou toutes les ii — 1 racines de l'équation ry(/?)=^0 

 sont simples. Soit ßu une racine de /^ iß). Dans le voisinage de cette 

 valeur de ß nous avons ii — 2 racines régulaires et deux racines Xi et r^ 

 qui deviennent égaux pour ß = ßu et qui se permutent quand ß tourne 



une fois autour de ß^. Nous avons donc pour av -{- py ou pour z-, un 



développement de la forme 



^2 = a + r/i {ß - ß,,f + a., {ß - ßuf + a^ (ß - ß,,f -\ 



ou les coefficients (i, n^, a.,, ... ne dependent pas de ß. 



La plus haute dérivée par rapport à ß dans J et z/k est la {n — 2;'*"^'" 

 et la {n — l)'^""« respectivement. Donc en introduissant dans J et ^k le 

 développement de So nous pouvons dans J mettre le facteur 



et dans Jk le facteur 



1 



iß-ßt^''~"~^' = iß-ßiu 

 en dehors tel que si nous écrivons 



T-C"-I) . .. 2 



2n-5 2n— 3 



J = (ß-ßl,) ^rf^^ , J^ = (ß — ß^) cp^^ 



les facteurs rp^ et cp^ ,. deviennent finis pour ß = ß^. Mais /?h est une 

 racine quelconque de r^iß); nous avons donc 



2n— 5 2n— 3 



(f) J = r~~^'^, _/j,= (_l)fe,y ^0^ 



ou (P et (?ii sont finis pour les valeurs de ß qui sont racines de r}(ß\- 



En permutant les il racines x^, Xo, ■ ■ . , Xn les fonctions ^ et <Pk ne 



changent pas car J et _/k sont des fonctions alternées des racines. Elles 



sont même des fonctions rationnelles entières des coefficients de l'équation 



considérée et considérées comme des fonctions des racines des polynômes 



homogènes. 



En effet. Les déterminants J et ^k sont des fonctions homogènes 



des racines car les dérivées x' x'.' , ... le sont. Les dénumérateurs de 



1 ' 1 ' 



J et ^k sont une certaine puissance du produit 



fp {x\^ <^p' {(r.o) . . . rp {Xr,) 



c'est-à-dire une certaine puissance du discriminant qui est un polynôme 

 homogène des racines. Les numérateurs ø et ^k sont donc aussi des 

 polynômes homogènes des racines ou des fonctions rationnelles entières 

 des coefficients pi, p.^, . . . , Pn-\, ß. 



