1921. No. 3. 



RÉSOLUTION DES EQUATIONS TRINOMES. 



II 



(0 



rk = (-i) 



k-i 1 



ro = i, n=- 



En introduissant dans J (formule 2(e) les développements 3(c) il 

 vient en n'écrivant que la première et la dernière ligne 



£2 /^ -f e^ ;.i (/ -] , e^AQ 4- £«Ai , 



+ 



, /.0 + ^-1 g + 



,2Ar"^) + f4//r^V + . . . , £3;.C-2) + ,,^-^^^ + 



](n-2) 



(n-2) 



. ):^-'' + Xr'^ f/ + 



Ici nous désignons par /.|!'* la j-'^^ie dérivée de /k par rapport à ß. 

 En développant ce déterminant en une somme de déterminants, où un 

 élément de chaque colonne contient seulement un terme de la série; 

 chaque déterminant ayant deux colonnes avec la même puissance de //, 

 la puissance c/^ par exemple, s'évanoui car un tel déterminant est de 

 la forme 



donc nul identiquement. Les premiers déterminants qui ne sont pas nuls 

 identiquement sont ceux dont les colonnes contiennent c/^, g^, g-, . . . , //'^'~"" 

 dans un ordre quelconque. Ces déterminants ont pour facteur le puis- 

 sance g''^, où 



■/ = 0+ 1 + 2 H \- n — 2 =^i>i — l)(/i — 2) 



2n— 5 



Le déterminant J et par conséquence ø = J rj ^ a donc /7= comme 

 racine d'ordre ^^^z — -!)(>? — 2'. 



Cela posé. Désignons d'une manière générale par )P[ le degré d'une 

 fonction P en fonction des >? racines Xi, Xo, . . . , Xa- Nous avons alors 



lh[ = i, ]ß\ = n , \r}\ =n(u — l) 



;j-; = 1, )x[\^l — u, \x'^\ = l—2)), ..., ]jlO^-^^[ = l —{n — 2)n 



d'où : 



;^; = 1 + 1 — ;z-f 1— 2hH ^l — j} — 2)n=^(7i—l){2 — u{)i — 2)) 



\^\=^-^^\v\ + ]^\ = ^n{n-l)2n-h) + i,{n-l {2-inii-2)) 



H" -!)-(>' -2) 



