RICHARD I5IRKELAND. M.-N. Kl. 



<1> est un polynôme en // et ■>. Soit ce '/^ ß^ un terme de ø; ce est une 

 constante numérique. Nous devons avoir 



(n—l) i + nk -^ (n — 1)2 (« _ 2; 



Plus haute nous avons vus que la plus petite valeur de i est ^jhi — l)(w — 2j. 

 Jl faut donc que /i" = et c'est la seule valeur possible. Notre affirmation 

 est donc démontrée. 



4. L'équation différentielle devient hypergéométrique dans le 

 cas pi P2 ••• = Pn-2^0. Considérons encore l'équation trinôme 

 3(a). Exactement comme plus haut on démontre que la fonction ø]s^ a 

 aussi fj=0 comme racine d'ordre ^{n — l)(n — 2). Le rapport 



V ^^ 



(p 



est donc encore un polynôme en ß et f/. Si nous introduissons SJ==Xi-] pi 



dans l'équation différentielle 2(g) le terme à gauche devient une fonction 

 homogène des racines w^, x^>, . . . , Xj^ de degré 1 — n{n — 1). Il vient donc 



|^o(-l^-^)|_l_,^(,ï_l) 



d'où 



\M^\= n{n — k—l) 



Soit (c(fß^^ un terme de J/k. Nous devons avoir 



{n — l)i -\- nli^^ niji — k — 1) 



Les seules valeurs possibles sont ? = 0, ]i^=n — k — 1. Nous avons donc 



l'k étant une constante numérique. L'équation différentielle 2 (g) devient 

 donc de la forme 



(a) jy J2(n-') 4- ^^^~^ rj' <2(»-2) + v. /S"-^ ü^^-^) ^ h 'n-i .Ç = 



Le discriminant de l'équation trinôme est 



n(Q+l) n(n-l) 



(a') —(—1) '^ n^ß'^-^ — i—l) 2 („_l)n-l^n 



Il suffit évidemment d'introduire le discriminant multiplié par une 

 constante; donc introduire 



( b) ^ iß) = /^n-l _ ^, ^ ^ _ (_ i)n_l ^'' -]}"" - g- 



