I92I. No. 3- RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRINOMES. I3 



La quantité qui dans i (c) est désignée par T, devient ici: 



(c) r ^ 1 — i = r— 1)^-1 — - — ^ — 



Nous introduissons dans l'équation difterentielle 4(a) T comme nouvelle 

 variable au lieu de ß. Cette équation devient d'après un calcul facile 

 de la forme 



(co :— 2 c - 1) - — - + :--3 (^4^ : _ 5 ) — '^ 4_ . . . 



OÙ les A, B, C sont des constantes numériques. C'est une équation diffé- 

 rentielle hypergéométrique.i On 2)eut donc exprimer les n racines de 

 l'équation trinôme par des fonctions hypergéométriques d'ordre n — 1. 



Par cela nous pouvons trouver les racines de l'équation trinôme; mais 

 nous allons cJioisir un chemin plus direct. 



Posons dans l'équation trinôme 3(3} 



1 n_ 



X = ag'^-'^ , l = ßg ^-^ 

 Elle devient 



(f) rt^ = rt + ? 



On démontre en introduissant dans cette équation 



que r/i, «2, . . . , r^n-i sont n — 1 racines de l'équation 4(f) quand v est 

 une racine primitive de l'équation r"— '=1 et //o> ."i> ,"2» • • • des constantes 

 à déterminer de proche en proche. Il vient donc pour n — 1 des racines 

 Xi, Xo, . . . , Xn-i de l'équation 3(a) 



(g) Xi = v'^'ao 4- r*^^^-')«i ß 4- v'^''--hc,ß-^ + i''^'^-3)«3/?3 -I 



(i = 1,2,..., n — l) 

 où 



1-kn 



(g') «k = ,«k g ^-' (k = O, 1, 2, 3, . . .) 



Nous pouvons calculer les constantes uq, ui, u^, . . . par la série 3(d) 

 car en introduissant dans 3(e) 



1 Thomae: Mathematische Annalen, B. 2, 1870, p. 427. 



E. Goursat: Annales de l'Ecole Normale Supérieure, t. 12, 1883, s^éuie série, p. 272. 



