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RICHARD BIRKELAND. M.-N. Kl, 



les racines du discriminant sont distinctes. Les formules 7 (a) ne sont 

 valables que dans le cas où |Ç <1, c'est à dire pour des valeurs de ß 

 déterminées par \ ß l'^ly.l Nous ne pouvons donc pas de ces formules 

 décider la permutation mais nous pouvons démontrer que c'est toujours 

 .r„ qui se permute avec une des autres racines. 



En effet. Supposons que Z] et z^ [j <in ,k<,ii) se permutent autour 

 du point /.•. Autour de ce point nous déscrivons un cercle ;' de rayon 

 aussi petit que 



I ^j — ^'k |< t 



dans le cercle y, e est une quantité positive aussi petite qu'on veut. La 

 différence de deux des autres racines, au contraire, est en valeur absolue 

 supérieure à un nombre positif m. Les formulés 7 (a) sont valables dans 

 le cercle c et nous avons en vertu de 7 (a) 



V^ Z; iß) == ^j+p_(n-l) (»'P ß) 

 , VV 5-1, iß) = ^,,+p_(„_i) (yP ß) 



p étant quelconque des nombres 1 , 2 , • • • , n — 2. Si ,; H- i> ou k -\- ]i sont 

 ^» — 1 il faut remplacer les indicies ; + /' — (" — V) ou k -\- ji — (« — 1) 

 par / ~\- j) ou k -\- p: Dans l'aire à l'intérieur de y et de c nous avons 



I .?j+p- (n-l) (î^P ß) — ^k+p- (n-1) (''P ß) \ = I -^j (ß) — ^k (ß) ' < e 



C'est donc les racines ,?j^p_(a_i) et .øk+p-(n-i) qui se permutent autour 

 du point vP /. Mais les indices de ces deux racines sont toujours inférieur 

 à n car /> est au plus égal à n — 2 et k et j au plus égaux à » — 1. La 

 racine îq sera donc régulaire autour de tous les points critiques 7 b) car 

 on peut donner à p les valeurs 1 , 2 , 3 , • • • , n — 2 et obtenir tous les points 

 critiques. Mais cela est impossible car l'équation trinôme z'^^ = (j s -\- ß 

 est irréductible. 



Donc si nous désignons par 



(c) 7\^n>- • • > ïn-\ 



les quantités 7 (b) dans un ordre tel que ^h et z^ se permutent autour de 

 j'h nous pouvons écrire 



en désignant par le symbole 



a 



