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Une partie S de la surface peut donc être représentée par la formule 



ce dqz dq^ 

 Jj H 



(A) 



OÙ (A) désigne le champ d'intégration en les variables (j.> et v^ corre- 

 spondant à >S et où, dans l'expression de // comme fonction de qi , q^, q-j, 

 <]i reste constante = c. Cela est d'ailleurs une conséquence de l'expression 

 du flux de force Hdn calculée au § précédent. 

 D'autre part, on a 



de manière que la formule (i8) donne la relation 



d'où 



1/11 = , J/22 = "^ » -^^3 = ~^" ; -^^23 



»'11 mn ^"11 



g. Intégrale définie à variation nulle Propriété fondamentale 

 de la trajectoire relative au nombre de tubes de force qu'elle entoure. 



Les équations XVIII 



2T= 1 



vont nous offrir un nouveau point de départ pour des recherches impor- 

 tantes. En effet, nous allons voir que l'on peut en déduire diverses formes 

 remarquables des équations générales et les associer avec d'intéressantes 

 propriétés de maxima et minima de certaines intégrales définies le long des 

 courbes dans l'espace. 



Introduisons das les équations ci-dessus, d'après l'exemple de M. Pain- 

 levé^, q-i comme variable indépendante, au lieu de s. Posons, pour abréger, 



dqi ' dq^ ' 



d<ü ^ ^^'^ ~dq^ ~ ^^^ 



^ Voir P. Painlevé Leçons sur l'intégration des équations différentielles de la mécanique 

 p. 236. Paris 1895. 



