Jj'équation dont il s'agit, est la suivante: 



(A1 *ï . r -(« + ß + i )# <M _ *-ß u _ 



Ki <U-^ x(l—x) ' dx x(l—x)' J ~ 



M. Kummer a démontré que cette équation admet en général, pourvu 

 qu'aucune des quantités 1 — y , y — a — ß et ß — « ne soit un nombre entier, 

 vingt-quatre intégrales particulières de la forme x* . (1 — #)« F(.a ,/?,/, z), 

 où g est l'une des fonctions 



1 1 x x — 1 



x- 1 — a; .c — 1 x 



F(cî ,ß' ,v ,z) désignant la série hypergéometrique de Gauss 



àj_ d («' + 1 ) £ (/*- + 1) ., 



t i.r 1 " 1.2/C/ + D - *" 



l.2.3..M.y'(/ + l)...(/ + «-D " ^ - '"" 



On peut établir ces intégrales de plusieurs manières différentes. La 

 méthode la plus simple paraît être celle de MM. Tannery ') et Jordan 2 ), 

 méthode qui est fondée sur la théorie générale des équations linéaires homo- 

 gènes, créée par M. Fuchs. 



Si parmi les quantités l — y , y — « — ß,ß — « il se trouve des nombres 

 entiers, cette méthode n'est plus applicable. On peut alors, comme l'ont fait 

 Gauss 3 ) et plus tard MM. Tannery ') et Goursat 4 ), obtenir les intégrales et 



') Annales scientifiques de l'École Normale, 2« série, t. IV. 



2 ) Cours d'analyse, t. III. 



3 ) Oeuvres complètes, tom. III. 



*) Sur l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéometrique. Paris, I88l. 



