E. LlNDELÖF. 



les relations entre celles-ci, en les déduisant des formules générales au 

 moyen d'une méthode à limites. Mais il n'est pas sans intérêt de traiter ce 

 cas directement sans avoir recours aux formules dont il s'agit. C'est ce que 

 je me suis proposé de faire dans la présente étude. 



1. 



Nous commençons par rappeler la méthode de MM. Tannery et Jordan, 

 ce qui nous fournira occasion de faire quelques observations en vue de sim- 

 plifier leur procédé. 



De la théorie générale de M. Fuchs il résulte immédiatement que l'équa- 

 tion proposée a toutes ses intégrales régulières et que celles-ci ne peuvent 

 avoir d'autres points critiques que 0,1 et oo . M. Tannery a démontré, 

 d'un autre côté, que toute équation linéaire homogène du second ordre, 

 dont les intégrales, étant régulières, n'ont que trois points singuliers, peut 

 être ramenée, par des substitutions convenables, à la forme (A). Il dé- 

 montre en outre que la forme (A) comprend toutes les équations de cette es- 

 pèce, ayant les points singuliers 0,1, go et dont les équations déterminantes 

 relatives aux points et 1 ont chacune une racine égale à zéro. D'après 

 cela on voit sans peine qu'en substituant à x dans l'équation proposée l'une 

 quelconque des variables 



(1) t \-t 1 — — — 



ce qui fournit une nouvelle équation différentielle aux points singuliers 0, l,co, 

 les équations déterminantes relatives aux points correspondants de l'équation 

 proposée et de l'équation transformée auront les mêmes racines. Désignons par 

 X , X ; (i , 'p ; v , v les racines des équations déterminantes aux points , 1 , oo 

 de l'équation transformée et substituons dans celle-ci à y l'expression 



(2) t\l-tf-s. 



L'équation obtenue aura les points singuliers , 1 , go , et les racines 

 des équations déterminantes relatives à ces points seront 



, X' - l ; , (i — fi ; v -f- X -\- (i , v + l -\- (i , 



