Sur l'équation différentielle de Kummer. 



ce qu'on trouve facilement en comparant entre eux les ordres d'infinité des 

 fonctions y et e aux points singuliers. 



D'après ce que nous avons dit plus haut, cette équation aura donc la 

 forme 



(3) 



d*z 



dû 



+ 



r — («• + /sr + o * dz a (t 



tn-t) 



' dt t{l - t) 



3 = 0. 



Quant à la détermination des paramètres a , fil , / , nous observons que 

 les racines des équations déterminantes de cette équation, exprimées ena'./f, 

 /, sont 



0, 1 — /; 0,y' — a - fi'; a , fi' . 



En égalant ces valeurs à celles trouvées ci-dessus, on obtient 



a' - v + A -\- (i , fi' = v + l + fi , y = A — X + 1 . 



Or, on sait que l'équation (3) admet pour intégrale particulière la série 

 hypergéometrique F (a ,fi" , y', t). Il en résulte que l'équation (A) a pour 

 intégrale 



t x {l-t?F(a',fi-, Y ',t), 



où il reste à remplacer t par sa valeur eu x. 



Dans l'expression (2) on peut prendre pour X l'une quelconque des raci- 

 nes l , X et pour fi l'une des racines p , p et l'on obtient ainsi quatre ex- 

 pressions différentes, dont chacune conduit à une intégrale particulière. Ainsi 

 chacune des substitutions (1) nous donne quatre intégrales, de sorte qu'on 

 obtiendra en tout vingt-quatre intégrales particulières de l'équation proposée, 

 qui sont précisément celles de M. Kummer. 



Comme nous aurons à faire usage de ces intégrales dans ce qui suit, 

 nous en donnerons ici le tableau complet. 



F(<*,P,Y, •'') . 



(1-*)* — 'jfr-«, y _0,y |aj ), 



(1 



c) " Fla, y — fi, Y . 



(1-aO ß F[fi,Y-ct,Y, x ^ 



