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oo2 



Sur Véquation différentielle de Kummer. 



V 



ce — y 



(i-aO y -"-^(i-«,r-«,/s-« + i,I), 



(1 _ x)~ ß F(ß ,y- a ,ß- a + l fl ±- 



1 — • 



M. Kummer a démontré que, si deux intégrales particulières de l'équation 

 proposée se laissent développer en séries convergentes aux environs du même 

 point critique, elles ne peuvent différer que par un facteur constant. On en 

 conclut facilement que les intégrales comprises dans chacun des six groupes 

 désignés par y M , 9>o2 > • • • <P<x> 2 sont égales entre elles à un facteur constant près. 

 Il n'y-a donc que six intégrales distinctes. Nous choisissons les suivantes: 



I//01 = F(a,ß,Y,z), 



I//02 = -r ' ~ y F(a - y + 1 , ß - y + 1 , 2 - y , .r), 



(Vu = F(a,ß,a + ß-y + 1,1- 

 ?/i2 = O — X ) V 



« P F(Y-a,y — ß,Y-a-ß+lA 



'•), 



F[tt,a-Y+l,€c-ß + l 



y*\ = x 



?/x2 =.r P F (ß,ß-Y+l,ß — a+l,- 



Ces intégrales sont des fonctions multiformes. Tour les rendre unifor- 

 mes, traçons les coupures de Riemann + 1 - - + co et x 



et assignons aux puissances 



x^^a-x)*-"-?,*-*, x - ß 



des valeurs réelles sur la partie h 1 de l'axe réelle. 



On sait que la série F(a , ß , y , x) est convergente quand | x | < 1 . Elle 

 l'est encore pour \x\ =1, si n — «1 — Ä>0, cc u ß uYl désignant les parties 

 réelles des paramètres « , /S , y . Dans ce dernier cas la relation de Gauss 



(4) 



F(a 8 y y - T W T JY ~«~ ß) 



& 



