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a lieu, la fonction r étant définie par la formule: 



(5) If) = lim = _ U(n , ,) = un = ^ J+[l';^-iy " " ' 



Les développements y M et y o subsistent à l'intérieur du cercle au rayon 1 . 

 décrit autour du point 0, les développements y^i et »/002 à l'extérieur de ce cercle, 

 et enfin y n et y 12 dans le cercle au rayon 1 , décrit autour du point 1 . Pour 

 qu'on puisse poursuivre une intégrale particulière dans tout le plan, il faut 

 déterminer les relations linéaires qui existent entre trois de ces développe- 

 ments. A cet effet nous posons 



(6) 2/o2 = Ci Vu + C 2 y n , 



d et C 2 désignant des constantes qu'il s'agit de déterminer. Supposons d'abord 

 1 — Yi > et Yi — »1 — ßi > 0- En donnant à x dans l'équation (6) tour à 

 tour les valeurs et 1, on trouve 



(7) 



n - r ^ 1 -y) r ( g + P - y + i) , r r(l - yj.r(y-« - ß+ i ) 



i- T(a-Y- »IW — y + 1)"* 

 Cl 



T(a- Y +l)T(ß-Y + l)^ r(l-«)T(l-W 



r(2-y) f(y - « — /8) _ 



r ( i - «) r(i - ß) 



d'où l'on tire 



r r(2- y)r(a t^y^ 



2 ~ T(«- y+i)r(U-y+l)- 



Nous aurons donc la relation: 

 m w _ r( 2-y)rf y -«-*) , H2 - y) T( a + ß- Y) 



W ?/02 - p (1 _ ß) r(1 _ ß) Vil -t r(ft _ Y _|_ 1} r(j J_ y + jj 2/12 • 



En y effectuant la substitution (« , /î , y | « — y + 1 , /S — y + 1 , 2 — y) et 

 multipliant par x i ~ y , on trouve 



_ r(y)r(y-«-<?) r(y)r(« + <8-y) 



(11) ?/oi- T(y _ a)r(r _ jS) ?/n+ r(«)r(/») //12 ' 



Des équations I et II on déduit, en changeant .r en 1 — x et y en « + ß — y + 1 , 

 les suivantes: 



