Sur l'équation différentielle de Kummer. 



_r(i-r )rfr-«- p + i) r(y- pr(y-« -p + ii 

 niI) ?/l2 - r ( i = a) fi i « •' m + T(y - a)T(r- ß) 



r(i-r)r(q+ /»-r + D„, ,r(y nn^ + ^-r + D,, 



L'hypothèse 1— Yi>0, Yi — «i — ft>0. admise jusqu'ici, nous était 

 nécessaire pour la détermination des constantes, mais les valeurs qu'on vient 

 de trouver pour celles-ci, subsistent quand même cette hypothèse cesse d'avoir 

 lieu. C'est ce qu'ont démontré Gauss, Kummer et plus tard M. Goursat, 

 mais il nous semble que la démonstration un peu longue, donnée par eux, peut 

 être rendue plus simple par les considérations suivantes. 



Admettons d'abord 1 — Yi > O , Yi — "i — ßi < 0- Les constantes C t et C 2 

 de l'équation (6) étant des fonctions des paramètres « , /S , y , nous les désigne- 

 rons respectivement pas C, (« , ß , y) et G, (« , ß , y). En substituant y — a à « 

 et y — ß a ß , cette équation devient 



1-, 



'F(l-ct,l-ß,2-y,x)=C 1 (y-cc,Y-ß,Y)F(Y-a. 1 y~ß,Y-'*-ß+l,l- 

 _|_ C 2 (y - « , y - ß, y) (1 - cc) a + ß ~ v F{a, ß, a + ß — y + 1,1- *) . 



Pour j- = et x = 1 elle nous donne 



0= C7 t (y — « , y — /S , y) 



+ C^(y-«,y — /î,y) 



T(2 - y) T(a + - y) 



rfr-a-/» + i)r(i - y) 

 r(i-«)r(i-jS) 



r(« + ff-y + l)r(l-y) 



r(o-y+ l)r(/*-y + 1) 



r(«-,-+ 1)T(/Î — y+ 1)' 



Ci (y - « , y - , y) • 



En effectuant de nouveau la substitution (« , /î | y — «,y — /S), on retrouve les 

 relations (7) et par suite aussi les mêmes valeurs qu'auparavant pour les con- 

 stantes Ci et C 2 . 



Si 1 — Yi < , Yi — «i — ft > , on arrive à un résultat pareil par la sub- 

 stitution (a , /S , y | « — r + 1 , /S — y + 1 , 2 — y) , et si 1 — y t < 0, y t — a x — ft <0, 

 par la substitution (« , P , y | 1 — « , 1 — /3,2 — y). Le théorème est donc dé- 

 montré dans tous les cas. 



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