Sur l'équation différentielle de Kummer. 13 



Nous allons maintenant étudier le cas où une ou plusieurs des quantités 

 1 — Y i Y — a — ß, P — « «ont des nombres entiers ou nuls. Admettons d'abord 

 que 1 — y est un entier négatif. L'expression 



//02 = ■'- ~~ Y F(a —Y + l,ß — Y+l,2 — Y, -'I 



n'a plus aucun sens, puisque tous les termes du développement, à partir d'un 

 certain d'entre eux, deviendront infinis '). Si dans l'équation proposée on fait 



y = 'M 



Aedx, 



//,„ désignant la série bypergéometrique F(a,ß,Y,x), on trouve sans peine 

 que 3 doit satisfaire à l'équation différentielle 



*» % + 



., '('/0, Y — (« + ß + D ' 



~ dx "*" x(l — x) ' !hi 



.; = , 



qui admet pour intégrale particulière 



x -y<i- X )V-"-p- 1 



</oi 2 



Ou trouve donc, pour l'intégrale nouvelle, l'expression 



il = 'Au J ' 

 qu'on peut mettre sous la forme 

 (11) x 1 ~ 7 ^ß(x) + G{a , ß , y) . log v.iju, 



'il ' - (i ] (/i 



/A.,- 



l i Il-y-a pourtant une exception lorsque « ou ß est uu nombre entier positif >1 et < y — 1 . 

 l'expression 



r l ~ v F(a — y + l, ß — y + 1, 2-y . x) 



étaut alors une fonction rationelle. Daus ce cas et dans tout cas pareil l'intégration peut s'effectm 1 

 facilement d'une manière directe, tout à fait analogue à celle dont nous avons fait usage dans le cas 

 général. Nous ne nous en occuperons pas ici. 



