14 



L. LlNDELÖF. 



$$(#) désignant une série procédant suivant les puissances positives de x, et il 

 s'agit maintenant de déterminer les coefficients de cette série ainsi que la con- 

 stante C'(« , ß , y) ■ Cette détermination peut s'effectuer en substituant l'expres- 

 sion (11) à la place de y dans l'équation proposée. Nous obtiendrons de 

 cette manière la relation 



i-y 



(2 - y) Sß'M — (« - y + i) (ß - y + 1) $(*) 



+ x 



%"U) - (2 (i - y) + (« + ß + !))$'(*) 



x 3 ~ v $"(*) + a« , /» , Y)^f (ï-d-s 



a + ß) + 2^ -2x 

 dx 



tir 



= 0. 



En faisant 



aß «(« + !)/* (/* + I) 



l.y - " 1 ' 1.2.y(y + l) " ä ' 



et observant que 



a» 1 1 _ (« + n) (ß + «) 



a„ n (y + «) 



on tire de la dernière relation 



(12) 



J-- 2 , 



C(« s y) = (- 1) («-r + i )("- r + 2)..(«-i)Q*- y + D (ff - y + 2) . . (/?— l) 



(y-l)[1.2.3....'.(y-2)P 



(13) 



^=4 + ^^^*+ 



( «-y + D(« - y + 2) ..(«-2) 0» — y ■+- !)(<* — r + 2 )..Q* - 2) y _ 

 1 . 2 . 3 . . . (y - 2) (2 - y) (3 - y) . . (- 2) (- 1 ) 



+ C 2 x y - 1 + 



C 2 +C(a,ß,y) 



« + ß _ y+J. 



a. ß 1 .y 



a t xy 



4-\c 4-Cla 8 v ^( a + ß r + 1, <* + ß + 2 y + 3 



+ [C + C{« , ß, y) ^ - TT + ia + 1)iß+T) - â^+I) 



y ^ 1 , I 



C 1 ! et C 2 étant des constantes arbitraires. Nous désignons par N la somme 

 de la série indéfinie 



