Sur Inéquation différentielle de Kummer. 15 



a+J _ y_+\ a+J + 2_ y+3 



«.£ " l.y "*"(« + î)(/*+ 1) 2(r + D + "' 

 (14) 



, « + /ï + 2 « y + 2 m + 1 



1 (« + h) (/ï + h) («+ l)(y + «) 



et nous donnons dans l'équation (13) à d et G; les valeurs particulières 



d = l, G 2 = — OLa t ß,y).N. 



Si nous adoptons cette détermination de C 2 , au lieu de faire simplement C 2 = , 

 c'est parcequ'elle conduit, comme nous le verrons dans la suite, à des formu- 

 les beaucoup plus simples. En introduisant encore le symbole fÇ, définie 

 par la formule 



as» g(«,<»,y^ = i+ (g ~ r f.g^ r + 1) « + .... 



+ ( K -r + l)(«-r + 2)..(«-2)(iS-y+ l )(iS-y + 2 ). .(i8-2) y _ 2 

 "*" 1.2.3...(y-2)(2-y)(3-y)..(-2)(-l) 



j-Tat / a -+^ r+i | g + ß + 2 y + 3 yi 

 + [ A U-/T" î.y + (« + l)0»+T) 2(r+i)jJ ff2: ' 



«■ + ...>, 



la forme définitive de l'intégrale cherchée sera 



//02 = •'' l ~ Y %(" ,ß,Y, a ) + a« , ß , Y) • log x . F(cc , ß , y , x) . 



Les fonctions y 01 et î/ C2 forment un système fondamental d'intégrales particu- 

 lières de l'équation proposée. 



Si y = 1 , la série $(« , ß , Y > a ') aura ^ a forme 



-«„,,,,,[*+ (*_(?±?_L±i))„,* + ], 



de sorte que l'intégrale y 02 se trouvera multipliée par C(a,ß,y)- En posant 

 C{a , ß , y) = — 1 , ce t te intégrale devient 



//02 



= d(<*,ß,Y,z) — log* -F{a,ß,Y, x) . 



