Sur Véquation différentielle iJr Kummer. 17 



//oo . = ■' ~ i! f(p J - Y + i ,ß - « + 1 .*) 



ß — u>0. 



Ajoutons que si l'un quelconque des nombres 1 — y, y — a — ß,ß — a 

 n'est pas entier ou nul, les intégrales relatives au point singulier qui corres- 

 pond à ce nombre, seront évidemment comprises dans le système général 

 (p. 6 et 7). 



Pour rendre les intégrales trouvées ci-dessus uniformes, traçons les cou- 

 pures de Riemann 1 - 4- oo et O oo et assignons aux 



fonctions 



T r ,(l — X) y " ,.'/' ",x 



( ,log.r,log(l-.r),logr j 



des valeurs réelles sur la partie — - + i de l'axe réel. 



Il reste à étudier la convergence de la série %(«,ß,r,x). De la forme 

 des coefficients de cette série il résulte d'abord qu'elle est convergente en 

 même temps que la série hypergéometrique F(u , ß, y,.*-), c'est à dire lorsque 

 | x | < 1 et aussi pour x=l, à condition que y,— a x — &>0, «i,ft,yi 

 désignant les parties réelles des paramètres « , ß , y . Mais il se laisse démontrer, 

 quand ccß.y sont réels, que %( u ,ß,Y,l) a encore une valeur finie pour 

 y — a — ß=0, et, pourvu que Y^> C( ß, aussi pour y — a — ß = — 1. En effet, 

 dans la série 



AT » + ß Y + 1 , y + i>H -l a + ß + 2 n y + 2w+ l , 



a.jS l.y ' 1 "-" n(r + B-l) + (« + n)(iS + «) (n + l)(y +«)" 1 " "*' 



on a 



« + /» + 2« _ y + 2 h — 1 _ m 2 (y — «— ß— D — 2ctßn — aß (y— 1) 

 (a + «) (0 + m) «(y + « — 1) ~ «(a + w) (ß + «) (y + n — 1) 



B + jS + 2« y + 2« + l uHy - « - ^ + D + 2 w(y-« ft + /(" + ß)-«ß (Y + D 



(« + M )(^+w) (n + 1) (y + w) (» + l)(« + n)(/ï + w)(y + M) 



Il suit de là que dans l'hypothèse actuelle les termes de la série N, à. partir 

 d'un certain d'entre eux, vont constamment en décroissant. En posant 



%(f*,ß,Y,l)= 5^»«n, 



