18 E. LlNDELÖF. 



OÙ 



X =N ( a + ß y + 1 I i " + /»+2n-2 y + 2» -l\ 



V.a./Ï l.y " t "'" "'"(« + « — 1)(|Î + M— 1) »(y + n — l)J 



_ «(g+l)..(« + n-l)^(^+l)..(|8 + H- l) 

 1.2..n.y(y+l)..(r'+»-l) 



on aura donc, à partir d'un certain terme Wj , 



(« + n) (ß + n)' 

 ou bien 



, « (« + 1) ■ ■ (« + « — 1) M + 1) . . (0 -r w — 1) «+ (S + 2m 



2*» a «<2' 



1.2....M.y(y+l)..(y + «-l) "(« + «)(/» + «) 



En désignant par ^„ l'expression sous le dernier signe 2, on trouve 



^ « + i (« + «') il 8 + w) 8 (g + <» + 2w + 2) 



^„ (»+ 1) (y + «)(« + « + 1)0*+» + 1) (« + ^ + 2 h) 



_ 2w 5 + m* (5 y + 2) -f 



2 w 5 + m 4 (5 y + 6) + 



La différence entre les coefficients de w* dans le dénominateur et dans le nu- 

 mérateur étant un nombre positif plus grand que l'unité, on est autorisé à 

 conclure, suivant un théorème connu de Gauss, que la série 21 A, , est conver- 

 gente. Par conséquent la série ?f(«,ß, y, 1) converge aussi dans les condi- 

 tions particulières dont il s'agit, c.q.f.d. 



3. 



Afin d'être en état d'établir les relations entre les intégrales particulières 

 obtenues plus haut, nous ferons d'abord quelques observations concernant la 

 série hypergéometrique. 



On a pour des valeurs quelconques de «,p,y 



« (« -H ) . , , (a - f- n - 1) ß(ß + 1) . . (ß + n - 1) y -«-/?+ I 

 1.2.3...«.y(y+l) (y + n — 1) 



