Sur l'équation différentielle de Kummer. 19 



«(«+!)..(« + h- 1) 1 ß(ß+l)..(ß + n — 1) 1 1.2..(n — 1) 



1.2.....(n- 1) 



i .2. ..(»-]) J ' y(y + i)..(r+n — 1) 



«y 



II(h a) II(« /*) ' 



Par suite la série F(« , ß , y , x) peut s'écrire 



(16) 



*K^r.*=i+2. m — 



n(« y) 



ll(n«)n(>tß)' n v-«--ß+i 



d'où l'on voit que les termes successifs de F(a ,ß,y, x) se rapprochent indéfi- 

 niment de ceux du développement 



r(y) ^ _ 



T(a)T(p)' 2,, 



On peut en inférer que la fonction 



y — cc — ß + i 



F(a,ß,y,x) 



m 

 H«) rw 



■^ « y — 



y — a - ß + l 



devient, pour x=l, infinie de moindre ordre que F{a,ß,y,x). Si «,ß,y 

 sont réels, cette proposition laisse se démontrer d'une manière rigoureuse. 

 En effet, d'après la formule (5) p. 8 on a 



n(» + 1 , z) _ n (h + l) a 

 Il(«,s) ~ n +2 n z 



1 + 



-^♦'-W+fi 



11 s'ensuit qu'en faisant augmenter n , | II(w z) | croît ou décroît constamment, 

 à partir d'une certaine valeur de w , suivant que 



4,-_l)l 

 T 2 w 2 



reste plus grand ou plus petit que l'unité. Supposons, pour fixer les idées, qu'à 

 partir de la valeur w, Il(« «) | et | il(» y) | aillent en décroissant mais que 

 | II(« ß) | croisse. On aura alors, pour n^>n 1} 



T(y) 



no^conß) 



< 



U(ny) 



U(na) U(iiß) 



IIÇm.jO 



n«) U( ltl ß) 



