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ou bien 



E. LlNDELÖF. 



T(y) 



< 



.y — a — ß + l 



<i 



no?) 



U(na)U(fifi) I \ n y-a-ß+i 



r(a)n(n,|«) 



y_«_0+l 



Cette inégalité renferme le théorème bien connu, que la série ^~i 



est, pour x = 1 , convergente ou divergente, suivant que la partie réelle de l 

 est plus grande ou plus petite que l'unité. 



En supposant que « , ß , y soient réels et qu'on ne donne à x que des 

 valeurs réelles et positives, elle peut s'écrire 



T(y) v x <- V — ^ x " 



ÎI(H,a) f(ß) 2j „ y - <* - ß + i ' - 1 2* ÎI(«a) Ify/fl " M y - « - ß + 



< 





On voit par là que les deux fonctions 



F(«J,y,x) et 2_£_. 



deviennent, lorsque y — « — ß<0, infinies de même ordre pour .6 = 1 et qu'on 

 pourra, par conséquent, déterminer la constante e de manière à rendre la 

 différence 



F(«,ß,y,x)-e^ ^_*_ ß + l , 



pour x = 1 , infinie d'un ordre inférieur à celui de ces fonctions. Quant à la 

 valeur de cette constante, il résulte des considérations précédentes sur la série 

 (16) qu'on doit avoir 



T(y) 



C - Y{a)T{ß) 



On aura donc, non seulement lorsque ct,ß,y sont réels, mais, à ce qu'il 

 parait, pour des valeurs quelconques de «,ß,y, pourvu que Yi — «i - A<0, 



