Sur l'équation différentielh île Kummer. 21 



(17) F(a ,ß,v, x) = $\{x) + r( ^- V — - 



où le rapport ■,., » v -> devient nul pour x = 1 . 

 Nous avons trouvé (p. 10) l'équation 



(18) lim Jl -*)■ + '-'*.,*, r , •) - ^rgrf^ - ' 



qui a lieu lorsque yi — «i — ft<0 et que y — « — /ï n'est pas un nombre entier 

 négatif. D'un autre côté l'équation (17) nous donne 



(19) 



f + ß—y T(v) tt -\-ß— Y ^t i" 



lim =i (l-z) F(«,ß,y,x) = ^^- limjl - s) S wy — g + i ' 



d'où il suit, en posant y — « — (t + l = i. , 



(20) r (1 - 1) = lim (1 — *) l ~ * V ^ , 



formule assez remarquable que nous n'avons pas rencontrée ailleurs. 



Malgré la restriction imposée primitivement à la valeur de / , la formule 



(19) en est indépendante, c'est à dire qu'elle a lieu aussi lorsque X — l est 

 un entier négatif. En effet, on obtient par une simple multiplication, en fai- 

 sant la série S?—, commencer par le terme 1 , 



(1— ./■)'- V«»" = ! — -e + as 2 , 



(1 — a;) 3 ^« 2 s" = 1 — 2 a; + 4 œ 2 — x 3 , 



( 1 — x) 4 y n 3 .x" = 1-3 .<; + 10 x 2 — 3 a 3 + x i , 



