Sur l équation différentielle de Kummer. 



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demment (pp. 16 et 17). Considérons en premier lieu le cas où 1— y = y-«— ß = 

 et ß — a= un entier négatif. On a alors les systèmes fondamentaux suivants: 



[iJoi = F(a,ß,1 ,x), 



|.'/o2 = 8'K ß , 1 ) -O — log a: . y m • 



j//n =^(«,/ï,l,l— x), 



|.'/i2 = g(«, /î, 1 , 1 — *) - log (1 - x) . y n . 



y aDl = x "lia , a , a - ß + 1 , -j , 



9aH = x~ ß %(a,a,a-ß + ijj + C(«, «,«-/* + l)log^|V y 



Posons 



(22) 



Vu = C, y i + C 2 y m 



Si la variable x, en suivant l'axe réel, s'approche indéfiniment du point 

 1 , l'intégrale y m deviendra, d'après l'équation (21), infinie du même ordre 

 que log (1 — x) . On a de plus 



lim logœ. log (1 -x) = 0, 



x = l 



et comme $(«,/î,l,l) est une quantité finie (page 18), l'intégrale y 02 re- 

 stera finie au point 1 , et il en sera de même de l'intégrale y u . L'équation 

 (22) exige alors qu'on ait C^ — O, d'où 



C a = 



$(«,/*,l,l) 



On peut trouver une autre forme de la constante C 2 . Nous avons, en 

 effet, d'après la formule (21) 



F(a,ß, 1,1 — œ) = sp(l-aO 



1 



r(«) m 



■ logœ , 



Sß(l) étant une quantité finie. Si l'on fait la variable x se rapprocher du 

 point 0, en suivant l'axe réel positif, dans chacun des membres de l'équation 

 (22) le terme qui contient log x devient infini. Pour que cette équation puisse 



