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Les formules que nous venons d'obtenir sont, au signe double près, identi- 

 ques à celles qu'a trouvé M. Genetz l ), en traitant directement l'équation dif- 

 férentielle de Legendre. Cette différence provient de ce que nous avons rendu 

 les intégrales uniformes par l'introduction des coupures de Riemann. 



Au cas que nous venons de traiter on peut ramener tout autre cas où 

 deux des nombres 1 — y , y— a— fi, fi — « sont nuls et le troisième entier. 



Soit maintenant y - « — ß = 0, 1 — y = un entier positif et ß - a = un 

 entier négatif. On aura les systèmes fondamentaux 



ki = x ' ~ Y F(cc - y + 1 , fi - y + 1 , 2 - y , x), 



['M = 3K« - Y + 1 i ß ~ Y + 1 1 2 - Y , x) + C{a - y + 1 , ß — y -f 1 , 2 - y) \ogx.y 0i . 



\Vu = F(a , ß , 1 , 1 — x) , 



I2/12 = $(« , ß , 1 , 1 — *) - log (1 — x) . y u . 



y«, i = x~ a F [a , a — y + 1 , « — ß + 1 , -V 



!/x2=*~ ß %(c<,«-y+l,«~ß + 1,^ + C'(«, «-y + 1,«- ß + 1) logß\.y xl . 

 Posons 



l/ll — ^l Z/Ol + ^2 #02 • 



Si l'on fait x tour à tour tendre vers 1 et vers 0, en suivant l'axe réel, 

 on trouve 



ft = o,c 1=; l r(1 -^ 



' 3K« - y + 1 . ß - y + 1 , 2-y . i) r( i - «) r(i - « • 



et par suite 



y.- r+1 , l i- r + 1 , i ,- r>1)= 'X l -y_rti- fl | 



d'où il vient, en faisant la substitution («,/*, y | « - y -f- 1 , /ï — y + 1, 2 — y) , 



') Til] teorin för île Fuchs'ska funktionerna, Helsingfors 1889. 



