Sur V équation différentielle de Kummer. 29 



formule qui a lieu pour y — « — /ï = , y étant un nombre entier positif plus 

 grand que l'unité, et dont nous avons déjà fait usage (p. 25). 



Lorsqu'on cherche à établir la relation qui doit exister entre y 01 , >j l)2 et 

 ij V2 , il se trouve que les expressions des constantes de cette relation contien- 

 nent la transcendante 3?(«» /*> 1 > 1)» où « + ß n'est pas 1, et que je n'ai pas 

 réussi à ramener à des fonctions connues. 



Cependant on peut déterminer les relations existantes entre les intégra- 

 les yoi,y<a ,y œ i ,y œ 2i e t on l es obtient par un procédé tout analogue à celui 

 dont nous avons fait usage dans un cas précédent. Nous nous contenterons 

 de les écrire ici. 



_ rq — q)r(« — /*+ n , + !tlu m-y)T(a -ß + i) 

 **» — " r(«) r(2 — r) v™ + c [T(i—ß)f y ° 2 ' 



r(«)m-y) „ 



y» 2 - r(] _ a ) r(a .^.'/Oï- 



Le signe double se détermine comme il a été dit précédemment (p. 10). 

 A ce dernier cas se ramène tout autre, où l'un de nombres 



1 — 7, Y — « — ß, ß — a 



est nul et les deux autres entiers. 



Si y — « — ß=— 1 «t y>«/*, la série %[*,ß,Y,z) est encore conver- 

 gente pour .c — l, comme nous l'avons démontré p. 17, et l'on obtient des 

 formules tout à fait analogues à celles qui ont lieu pour y — a — = 0. 

 Soit par exemple 1 — y = — n , y — « — /* — — 1 , /ï — « = — m , m et n étant 

 des nombres entiers positifs. On a alors les systèmes fondamentaux 



l!/oi =F(a,ß,Y, x), 



{um = •<-■ ~ y %{«■ >ß,Y, x) + C(a ,ß,y)logx. y 0l . 

 |yn = *K ß,a + ß— Y +1,1 — a:), 



W= C 1 -^) 5 "" _ ^S(«.A« + ^->' + l,l-^) + C'(«,/<,« + 0-y+l)log(l-^)-Z/n- 

 y œ i = a; F(a,a— y 4-1, «—/ï+l.-J, 



#** = » -p 2f(«,«-y + 1,«-/»+ i,^J + a«. , «-y + 1 , «-/» + 1) log ("M . y œl . 



