Minimalflächenstücke, deren Begrenzung von drei Geraden gebildet wird. 21 



woraus hervorgeht, dass die Abbildung der diesen Punkten entsprechenden 

 Minimalflächenstücke auf die Hülfskugel ebenfalls aus der Fläche nur eines 

 Eugeloctanten gebildet wird. 



Sind die Wurzeln der Gleichung Z> = imaginär, so besitzt die Bie- 

 mannsche Fläche Q' einen innern Windungspunkt, sind dieselben reell, so be- 

 sitzt diese Fläche zwei singulare Punkte auf der Begrenzung. Um zu unter- 

 suchen welchen Werthes\ steinen p : q: r reelle und welchen imaginäre Wur- 

 zeln dieser Gleichung entsprechen, suchen wir den Ort der Punkte, für welche 

 die Gleichung zwei zusammenfallende Wurzeln hat. Setzt man die Discrimi- 

 nante der Gleichung gleich Null, so ergibt sich die Gleichung 



c (r :; -+ I (!<■' -i- 4 hâ + 4 a 2 c -t- 4 b 2 c - 1 2 abc - l(i a 2 b — IG ab 2 ) = O 



oder 



(p 4- q + r) {21 (p s + <l + r 8 ) - 17 (p 2 q + pq 2 + q 2 r + qr 2 + r 2 p + rp 2 ) 



+ 1 4 pqr) = . 



Die Wurzeln co und (■), fallen also zusammen, wenn ein Punkt der p, <b 

 r — Ebene entweder auf die Gerade p + q + r = 0, oder auf die Curve dritter 

 Ordnung C- A rückt, welche durch den zweiten Factor der linken Seite obiger 

 Gleichung gleich Null gesetzt dargestellt wird. Diese Curve besteht 1) aus 

 einer Ovale, welche innerhalb des Gebietes 1 liegt und von den drei begren- 

 zenden Geraden des Gebietes berührt wird, 2) aus drei sich ins Unendliche 

 erstreckenden, in den Gebieten 4, 7 und 10 gelegenen Aesten (Fig. 2). Aus 

 der bekannten Gestalt der Fläche Q' . welche dem Mittelpunkte des Gebietes 

 1 entspricht, ergibt sich somit, dass nur die Flächen Q', welche Theilen der 

 Gebiete 1, 4, 7 und 10 entsprechen, einen inneren Windungspunkt besitzen. 



Mit Hülfe dieser Bemerkungen ist es nun verhältnissmässig einfach 

 die Gestalten der Abbildungen der den verschiedenen Gebieten der p, q, r — 

 Ebene entsprechenden Minimalflächenstücke auf die s — Ebene zu untersuchen. 

 Es möge beispielsweise ein im Innern des Gebietes 1 gelegener Punkt, für 

 welchen die Wurzeln der Gleichung I) = conjugirt complex sind, ins Auge 

 gefasst werden. Die Aufeinanderfolge der Wurzeln der Gleichungen L = 0, 

 M = und A = ist folgende : 



X) ■ ■ • « ■ • • y ■ ■ ■ ■ ■ ■ fi ■ • • ß • ■ 1 • • • d ■ ■ ■ v ■ ■ ■ -I- X) 



