En symmetrisk lösning af likheter af 2-dra, 3-dje och 4-de graden. 



Utvecklingar och förvandlingar af algebraiska expressioner, innehållande 

 ett visst antal bokstäfver, hvilkas summa = o, förekomma ofta i läran om lik- 

 heter, emedan summan af rötterna till en likhet, som „saknar andra termen", 

 just har nämda egenskap. Man kunde visserligen eliminera en af bokstäfverna 

 och operera med de återstående, men man skall finna att formlerna blifva 

 särdeles enkla och lätthan dterliga, om man i stället för de gifna bokstäfverna 

 inför nya sådana, öfver hvilka man kan disponera pä sådant sätt, att de enkla 

 symmetriska funktionerna af de gifna bokstäfverna erhålla möjligast enkla ut- 

 tryck i de nya bokstäfverna. 



Är t. ex. 



a + b + c = o. 

 och man sätter 



t a = h + k, 



(1) h = ah + a>% 



l c — n'h + (.)/.'. 



däri o och ra a äro de komplexa kubikrötterna ur 1. uppnäs antydda ändamål. 

 Man får näml. 



| a + b + c — O, 



(2) ab + ac+bc = - ?M, 



I abc = ¥ + k 3 



samt (diskriminanten) 



(3) A = (a - b) O - c) (b - c) = - 27 (h 3 - k 3 ) . ■ 



1 Sättes a = h + k, b = ah + ßk, c = ßh + ak samt a och ß bestämmas så, att högra membia i 

 likheterna ab + ac + be = {a + ß + aß) {h- -t- k-) + (2a + 2ß + a- + ß*)hk. abc = aß (h 3 + A" 1 ) + {aß + 

 a 2 + ß') (h + k)hlc. blifva möjligast enkla uttryck, finner man att detta sker endast, när a + ß + aß = o, 



hvilken likhet i förening meil 1 + a + ß = o ger a = zJ^ÏJl^IÈ = w och ß = ~ ^ ' ~ = <u 2 . Koef- 



ficienten aß + « 2 + ß- försvinner då af xiy själf. 



