S. LliVÄSEN. 



Beträffande fyra tal a, b, c och d, hvilkas summa = o. erhållas de största 

 möjliga förenklingar uti i fråga varande hänseende, om inan sätter 



(4) 



[ a = h + k + l, 

 b=h-k- l, 

 c = - h - k + l, 

 d=-h + k-l. 



Man får näml. 



(5) 



samt 



a + b + c + d= o, 



ab + ac + ad + be + bd + cd = - 2 (/< 2 + k"~+ l 2 ), 

 abc + abd + acd + bed = 81M, 



abed = (/r+ k"-+ f) - 4 (h*k*+ hV+ kV"-) 



2 1 2 



(6) J = (a -b) (a- c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d) = 2 (A 2 - k') (k*- / 2 ) (P- Irj. 



Vi anföra ytterligare följande exempel på symmetriska funktioner. 



a) 

 a + b -f c = o, 



« 2 + b' 2 + <r= 6M = - 2 («6 + «r; + 6c), 

 a 3 + 6 3 + c 3 = 3(Å 3 + A- 3 ) = 3a6c, 



a*+ 6 4 + c 4 = 18F/c 2 = -i (a 2 + 6 a + c 2 ), 



« :, + 6 5 + c s = 15M (/t : '+ & 3 ) = - 5abc(ab + ac + be). 



b) 

 a + b + c + d= o, 



a 5 + b 2 + c'+ d 2 = 4(/* 2 + 1r+ F) = - 2{ab + ac + ad + be + bd + cd), 

 a 3 + 6 3 + c 3 + d 3 = 24hkl = 3(abc + abd + acd + bed), 



a A + 6 4 + c'+ d A = 4(h 2 + V+ P)*+ 16(/r**+ fcT+ / 2 /r) = 2(oi + ••■)'- 4-a6crf, 

 «'+ & 5 + e r '+ ef = 80(/r+ /r+ P)AK = - 5(a6 + • • •) (a6c + ■•■)• 



Dessa likheter följa omedelbart ur de newtonska formlerna för symme- 

 triska funktioner, men kunna jämväl, hvilket just här afses, lätt bevisas med 

 tillhjälp af binomial- resp. polynomialteoremet. 



Det är klart, att ofvanstående metod kan utsträckas till flere än 4 bok- 

 stäfver, ehuru formlerna hastigt kompliceras, då bokstäfvenias antal tillväxer 



