En symmetrisk lösning af likheter af 2-dra, 3-dje urli 4-de graden. 5 



Vi vilja anföra dem, som gälla för 5 bokstäfver, h vilkas summa = o. Be- 

 tecknas dessa med a, b, c, d, e samt a betecknar en imaginär 5-te rot ur 1 



och man sätter 



a=h+k+l+ m, 



b = ah + a*k + a 3 l + o/m, 

 c = a*h + a*k + al + a 3 m, 

 d = o/ h + ak + a" l -f a'm, 

 e = ta 4 A + a 3 k + a*l + am, 

 finner man 

 2a — o, 



Sab = - b(hm + kl), 

 Sabc = 5(M 2 + km 2 + wr+ /ä"), 

 Zabcd = - 5(h 3 k + ¥m + w 3 2 + l 3 // + hklm - ä"»»"— k*l*), 

 abcde = A*+Ä;"+Z a +i»*+5(Å*A*i»+Å;'«»'i+»»*i ,, Ä+i*Ä , ft— A a üm — k"lm— Fkm— m'hk), 1 



af hvilka de två sista likheterna kunna sammandragas till 



^5 2*ab - i Sabcd = h 3 k + Fm + >nl + Fh + dhklm, 

 \Sab X 2abc + abcde = h b + & s + l b + m'- I0(h 3 lm + k a lh + F km + m 3 hk). 



Bland ytterligare exempel, på hvilka föregående formler med fördel kunna användas, anföra vi 

 följande identiteter och tranBformationer, hvilkas riktighet skall verificeras (Jmf. Hall & Knight 

 Higher Algebra, London 1887, p. 443). 



Ex. 1. {a — b) + (b - c)+(c - a) = 5(a — b)(b— c)(c — a)(a 2 + 6 2 4-c 2 - ab — ac - 6c). Man har 

 näml. (a — b) + {b — e)+(c — a) = o och (a — b){b — c) + (a— b)(c — a) + (b — c)(c — a) — — a 2 — b 2 — c 2 +a& + 

 + ac + bc. 



Ex. 2. (a - b) + (6 — c) + (c - a) — 7(a - 6)(6 - c)(c - n)(a 2 + &*+c a - ab - ac - bc). 



Ex. 3. (a - b)\ (6 - c) + (e- a) = ll(a - 6)(6 - r)(.c - a)(a 2 + 6 2 + c 2 - a6 - «c -&r) [a - b) * 



2 2 3\ 



(6 — c)(c — a)+ (a 2 + & 2 + c 2 — ab — ac — bc)\. 



Ex. 4. (a- b) + (b - c) + (c - a) = d((a - &)(& - c)(c - a) + 6(o 2 + 6 2 + c 2 - a6 - ne - 6c) V 



Ex. 5. (a- 6) + (6 -c) + (c-a) = 3(a - &)(& - c){c — a) ({a- b )'(b - c){c- a) + 3 (a 2 + 6 2 + c 2 - 



— ab — ac — bc) I. 



2k +1 2/1 + 1 2ii+1 



Ex. 6. (a — 6) +(6 — c) +(c—a) innehåller (a — 6)(6 — c)(c—a)(o ï +6 a +c ï —a6—ac— 6c) 



som faktor, i fall 2« + 1 icke är en multipel af 3. 



a 



Ex. 7. ((a - b) + (b - c) + (c - a)\((a - b) +(b- c) +(c- a)\ = ^ ((a - b) + (b -<■)+(<•- a)\ 



1 Bildandet af högra membra i dessa likheter underlättas betydligt, om man observerar 

 hvilka termer i dem kunna förekomma. I uttrycket för Sab t. ex. kunna endast ingå hm och kl, 

 men icke h-, lik o. s v., emedan i uttrycken för b, c ... e, upphöjda till kvadrat, koefficienterna 

 för de sistnämda produkterna blifva imaginära, hvarför dessa produkter måste försvinna vid summeringen. 



